\( p \veebar q \) önermesinin yanlış olduğu biliniyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) p ve q önermelerinin ikisi de doğrudur
B) p ve q önermelerinin ikisi de yanlıştır
C) p doğru, q yanlıştır
D) p yanlış, q doğrudur
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım, dikkatlice inceleyelim.
Öncelikle, $p \veebar q$ önermesinin ne anlama geldiğini hatırlayalım:
- $ \veebar $ sembolü, matematikte "ya da" (exclusive or - XOR) bağlacını temsil eder.
- Bu bağlaç, iki önermeden sadece birinin doğru olması durumunda doğru sonuç verir.
- Eğer iki önerme de doğru veya iki önerme de yanlış ise, $p \veebar q$ önermesi yanlış olur. Yani, önermelerin doğruluk değerleri aynıysa sonuç yanlıştır.
Şimdi $p \veebar q$ önermesinin doğruluk tablosunu oluşturalım. Bu tablo, $p$ ve $q$ önermelerinin her olası doğruluk değeri kombinasyonu için $p \veebar q$ önermesinin sonucunu gösterir:
- $p$ doğru ($1$), $q$ doğru ($1$) $\rightarrow p \veebar q$ yanlış ($0$)
- $p$ doğru ($1$), $q$ yanlış ($0$) $\rightarrow p \veebar q$ doğru ($1$)
- $p$ yanlış ($0$), $q$ doğru ($1$) $\rightarrow p \veebar q$ doğru ($1$)
- $p$ yanlış ($0$), $q$ yanlış ($0$) $\rightarrow p \veebar q$ yanlış ($0$)
Soruda, $p \veebar q$ önermesinin yanlış olduğu biliniyor. Doğruluk tablosuna baktığımızda, $p \veebar q$ önermesinin yanlış olduğu iki durum olduğunu görüyoruz:
- Durum 1: $p$ önermesi doğru ve $q$ önermesi de doğrudur. ($p=1, q=1$)
- Durum 2: $p$ önermesi yanlış ve $q$ önermesi de yanlıştır. ($p=0, q=0$)
Bu durumda, $p \veebar q$ önermesinin yanlış olması, $p$ ve $q$ önermelerinin doğruluk değerlerinin aynı olduğu anlamına gelir. Yani, ya her ikisi de doğru olmalı ya da her ikisi de yanlış olmalıdır.
Şimdi seçenekleri bu bilgi ışığında değerlendirelim:
- A) p ve q önermelerinin ikisi de doğrudur: Bu, $p \veebar q$ önermesinin yanlış olduğu durumlardan biridir (Durum 1).
- B) p ve q önermelerinin ikisi de yanlıştır: Bu da, $p \veebar q$ önermesinin yanlış olduğu durumlardan biridir (Durum 2).
- C) p doğru, q yanlıştır: Bu durumda $p \veebar q$ önermesi doğru olur. Dolayısıyla bu seçenek kesinlikle doğru değildir.
- D) p yanlış, q doğrudur: Bu durumda $p \veebar q$ önermesi doğru olur. Dolayısıyla bu seçenek kesinlikle doğru değildir.
Yukarıdaki analizden de anlaşılacağı üzere, $p \veebar q$ önermesinin yanlış olduğu durumda $p$ ve $q$ önermelerinin doğruluk değerleri aynı olmalıdır. Bu durum, ya ikisinin de doğru olduğu ya da ikisinin de yanlış olduğu anlamına gelir. Verilen seçenekler arasında, bu koşulu sağlayan ve doğru cevap olarak belirtilen seçenek B'dir.
Cevap B seçeneğidir.
