İntegralin temel teoremi Test 1

\(g(x) = \int_{0}^{x^2} \cos(t^2) \, dt\) olarak veriliyor. Buna göre \(g'(x)\) türevi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) \(2x \cos(x^4)\)
B) \(\cos(x^2)\)
C) \(2x \cos(x^2)\)
D) \(\cos(x^4)\)

Bu soruyu çözmek için Kalkülüs'ün Temel Teoremi'nin bir uzantısını ve Zincir Kuralı'nı kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Kalkülüs'ün Temel Teoremi'ni Hatırlayalım: Eğer bir fonksiyon $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$ şeklinde tanımlanmışsa, bu fonksiyonun türevi $F'(x) = f(x)$'tir. Burada $a$ bir sabittir.
• Üst Sınır Bir Fonksiyon Olduğunda Durum: Eğer integralin üst sınırı sadece $x$ değil de $x$'in bir fonksiyonu, örneğin $u(x)$ ise, yani $g(x) = \int_{a}^{u(x)} f(t) \, dt$ ise, bu durumda türev alırken Zincir Kuralı'nı da uygulamamız gerekir. Bu durumda türev $g'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x)$ şeklinde olur.
• Verilen Fonksiyonu İnceleyelim: Sorumuzda $g(x) = \int_{0}^{x^2} \cos(t^2) \, dt$ olarak verilmiştir.
• Fonksiyonun Bileşenlerini Belirleyelim:

  Bu integralde:

  İntegral içindeki fonksiyonumuz $f(t) = \cos(t^2)$'dir.

  Üst sınırımız $u(x) = x^2$'dir.

  Alt sınırımız $a = 0$ (sabit) olduğu için türev almada doğrudan bir etkisi yoktur.

• Üst Sınırın Türevini Bulalım: Zincir Kuralı'nı uygulamak için $u(x)$'in türevine ihtiyacımız var.

  $u(x) = x^2$ olduğundan, türevi $u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$'tir.

• Formülü Uygulayalım: Şimdi $g'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x)$ formülünü uygulayabiliriz.

  Öncelikle $f(u(x))$ ifadesini bulalım. $f(t) = \cos(t^2)$ fonksiyonunda $t$ yerine $u(x)$ yani $x^2$ yazmalıyız:

  $f(u(x)) = \cos((x^2)^2) = \cos(x^4)$

  Şimdi bu ifadeyi $u'(x)$ ile çarpalım:

  $g'(x) = \cos(x^4) \cdot (2x)$

  $g'(x) = 2x \cos(x^4)$

Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneğinde verilmiştir.

Cevap A seçeneğidir.