Trigonometrik fonksiyonların integralleri Test 1

∫(3sinx + 2cosx)dx integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3cosx + 2sinx + C
B) -3cosx + 2sinx + C
C) 3cosx - 2sinx + C
D) -3cosx - 2sinx + C

Bugün, temel integral kurallarını kullanarak bir trigonometrik fonksiyonun integralini nasıl alacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Sorumuz, $ \int(3\sin x + 2\cos x)dx $ integralinin sonucunu bulmak.

• Adım 1: İntegrali Parçalama

İntegral alma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerinde dağılma özelliği vardır. Yani, bir toplamın integralini alırken, her bir terimin integralini ayrı ayrı alıp toplayabiliriz. Bu kurala göre, verilen integrali iki ayrı integrale ayırabiliriz:

$ \int(3\sin x + 2\cos x)dx = \int 3\sin x dx + \int 2\cos x dx $

• Adım 2: Sabit Çarpanları İntegral Dışına Çıkarma

Bir fonksiyonun sabit bir sayı ile çarpımının integralini alırken, bu sabit sayıyı integral işaretinin dışına çıkarabiliriz. Bu, integral alma işlemini daha basit hale getirir:

$ \int 3\sin x dx + \int 2\cos x dx = 3 \int \sin x dx + 2 \int \cos x dx $

• Adım 3: Temel Trigonometrik İntegralleri Uygulama

Şimdi, temel trigonometrik fonksiyonların integrallerini hatırlayalım:

• $ \int \sin x dx = -\cos x + C_1 $

• $ \int \cos x dx = \sin x + C_2 $

Buradaki $ C_1 $ ve $ C_2 $ integral sabitleridir. En sonunda bunları tek bir $ C $ sabiti olarak birleştireceğiz.

• Adım 4: Sonuçları Birleştirme

Bulduğumuz temel integralleri yerine yazarak sonuca ulaşalım:

$ 3 \int \sin x dx + 2 \int \cos x dx = 3(-\cos x) + 2(\sin x) + C $

Burada $ C $ tüm integral sabitlerinin toplamını temsil eden genel bir sabittir.

• Adım 5: İfadeyi Düzenleme

İfadeyi daha düzenli bir şekilde yazarsak:

$ -3\cos x + 2\sin x + C $

• Adım 6: Seçeneklerle Karşılaştırma

Bulduğumuz $ -3\cos x + 2\sin x + C $ sonucunu verilen seçeneklerle karşılaştıralım:

A) $ 3\cos x + 2\sin x + C $

B) $ -3\cos x + 2\sin x + C $

C) $ 3\cos x - 2\sin x + C $

D) $ -3\cos x - 2\sin x + C $

Görüldüğü gibi, bizim sonucumuz B seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap B seçeneğidir.