Merhaba sevgili öğrenciler,
Bugün sizlerle $\int \sin x \cos x \, dx$ integralinin sonucunu adım adım bulacağız. Bu tür integrallerde genellikle "değişken değiştirme" (u-substitüsyonu) yöntemi çok etkilidir. Hadi başlayalım!
- Adım 1: İntegrali Tanıyalım
- Verilen integralimiz $\int \sin x \cos x \, dx$. Bu integralde, bir fonksiyonun türevinin de integral içinde yer aldığını fark edebiliriz. Örneğin, $\sin x$'in türevi $\cos x$'tir. Bu, değişken değiştirme için harika bir ipucudur.
- Adım 2: Değişken Değiştirme (u-substitüsyonu) Yapalım
- $\sin x$'in türevi $\cos x$ olduğu için, $u = \sin x$ dönüşümünü yapmayı tercih edelim.
- Adım 3: $u$ ve $du$ Değerlerini Belirleyelim
- $u = \sin x$ olarak belirledik.
- Şimdi $u$'nun $x$'e göre türevini alarak $du$'yu bulalım:
- $du = \frac{d}{dx}(\sin x) \, dx = \cos x \, dx$.
- Adım 4: İntegrali $u$ Cinsinden Yeniden Yazalım
- Orijinal integralimizdeki $\sin x$ yerine $u$ ve $\cos x \, dx$ yerine $du$ yazarak integrali basitleştirelim:
- $\int \sin x \cos x \, dx = \int u \, du$
- Adım 5: İntegrali Çözelim
- Artık integralimiz çok daha basit bir formda. $u$'nun integralini alalım:
- $\int u \, du = \frac{u^{1+1}}{1+1} + C = \frac{u^2}{2} + C$
- Buradaki $C$, integral sabitidir.
- Adım 6: $u$ Yerine Tekrar $\sin x$ Yazalım
- Son olarak, $u$'nun başlangıçtaki değeri olan $\sin x$'i yerine koyarak integralin sonucunu $x$ cinsinden bulalım:
- $\frac{(\sin x)^2}{2} + C = \frac{\sin^2 x}{2} + C$
- Adım 7: Seçeneklerle Karşılaştıralım
- Bulduğumuz sonuç $\frac{1}{2}\sin^2 x + C$ şeklindedir. Bu ifade, seçeneklerdeki A seçeneği ile tamamen aynıdır.
Unutmayın, bu tür integrallerde bazen birden fazla doğru değişken değiştirme yöntemi olabilir ve farklı yöntemler, integral sabiti farkıyla birbirine denk sonuçlar verebilir. Örneğin, $u = \cos x$ dönüşümünü yapsaydık, $du = -\sin x \, dx$ olacaktı ve sonuç $-\frac{1}{2}\cos^2 x + C$ (yani C seçeneği) çıkacaktı. Trigonometrik özdeşlikler ($\sin^2 x + \cos^2 x = 1$) sayesinde bu iki sonucun aslında birbirine denk olduğunu görebiliriz.
Cevap A seçeneğidir.
