Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür köklü sayılarla yapılan toplama işlemlerinde, genellikle kök içindeki sayıları sadeleştirerek veya ortak payda bularak ilerleriz. Bu soruda da kök içindeki sayıları sadeleştirmek işimizi çok kolaylaştıracak. Adım adım ilerleyelim:
- Birinci Terimi Sadeleştirme: İlk terimimiz $\frac{5\sqrt{18}}{3\sqrt{2}}$ şeklindedir.
- Öncelikle pay kısmındaki $\sqrt{18}$ ifadesini sadeleştirelim. $18$ sayısını bir tam kare ve başka bir sayının çarpımı şeklinde yazabiliriz: $18 = 9 \times 2$.
- Bu durumda $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ olur.
- Şimdi bu ifadeyi ilk terimde yerine yazalım: $\frac{5 \times (3\sqrt{2})}{3\sqrt{2}}$.
- Pay kısmındaki $5$ ile $3$'ü çarparsak $15\sqrt{2}$ elde ederiz. Yani terim $\frac{15\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$ haline gelir.
- Pay ve paydada bulunan $\sqrt{2}$'ler birbirini götürür. Geriye $\frac{15}{3}$ kalır.
- $\frac{15}{3}$ işleminin sonucu $5$'tir. Yani ilk terimin değeri $5$'tir.
- İkinci Terimi Sadeleştirme: İkinci terimimiz $\frac{2\sqrt{50}}{5\sqrt{2}}$ şeklindedir.
- Şimdi de pay kısmındaki $\sqrt{50}$ ifadesini sadeleştirelim. $50$ sayısını bir tam kare ve başka bir sayının çarpımı şeklinde yazabiliriz: $50 = 25 \times 2$.
- Bu durumda $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ olur.
- Şimdi bu ifadeyi ikinci terimde yerine yazalım: $\frac{2 \times (5\sqrt{2})}{5\sqrt{2}}$.
- Pay kısmındaki $2$ ile $5$'i çarparsak $10\sqrt{2}$ elde ederiz. Yani terim $\frac{10\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}$ haline gelir.
- Pay ve paydada bulunan $\sqrt{2}$'ler birbirini götürür. Geriye $\frac{10}{5}$ kalır.
- $\frac{10}{5}$ işleminin sonucu $2$'dir. Yani ikinci terimin değeri $2$'dir.
- Sonuçları Toplama: Her iki terimi de sadeleştirdikten sonra elde ettiğimiz değerleri toplayalım.
- İlk terimden $5$ bulmuştuk.
- İkinci terimden $2$ bulmuştuk.
- Toplamları $5 + 2 = 7$ eder.
Bu durumda işlemin sonucu $7$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
