Parabolün x eksenini kestiği noktalar (Denklemin kökleri) Test 1

Bir parabolün tepe noktası T(2,-4) ve y eksenini kestiği nokta (0,12)'dir. Bu parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri çarpımı kaçtır?

A) 12
B) 8
C) 6
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir parabolün tepe noktasını ve y eksenini kestiği noktayı kullanarak parabolün denklemini bulacağız. Ardından, bu denklemi kullanarak x eksenini kestiği noktaların apsisleri çarpımını hesaplayacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Parabolün Tepe Noktası Formunu Kullanarak Denklemi Yazalım:

  Bir parabolün tepe noktası $T(h,k)$ ise, parabolün denklemi $y = a(x-h)^2 + k$ şeklinde yazılabilir. Soruda tepe noktasının $T(2,-4)$ olduğu verilmiş. Bu durumda $h=2$ ve $k=-4$ değerlerini yerine koyarsak:

  $y = a(x-2)^2 + (-4)$

  $y = a(x-2)^2 - 4$

  Burada $a$ katsayısını bulmamız gerekiyor.

• 2. Y Ekseni Kesişim Noktasını Kullanarak 'a' Katsayısını Bulalım:

  Parabolün y eksenini kestiği nokta $(0,12)$ olarak verilmiş. Bu nokta parabolün üzerinde olduğu için, denklemi sağlamak zorundadır. Yani $x=0$ ve $y=12$ değerlerini bulduğumuz denkleme yerleştirebiliriz:

  $12 = a(0-2)^2 - 4$

  $12 = a(-2)^2 - 4$

  $12 = 4a - 4$

  Şimdi $a$ değerini bulmak için denklemi çözelim:

  $12 + 4 = 4a$

  $16 = 4a$

  $a = \frac{16}{4}$

  $a = 4$

• 3. Parabolün Tam Denklemini Yazalım:

  Bulduğumuz $a=4$ değerini tepe noktası formundaki denkleme yerine koyarsak, parabolün tam denklemini elde ederiz:

  $y = 4(x-2)^2 - 4$

• 4. Denklemi Genel Formda ($ax^2+bx+c$) Yazalım:

  x eksenini kestiği noktaların apsisleri çarpımını bulmak için denklemi $y = Ax^2 + Bx + C$ genel formuna dönüştürmemiz gerekiyor. Bunun için denklemi açalım:

  $y = 4(x^2 - 4x + 4) - 4$

  $y = 4x^2 - 16x + 16 - 4$

  $y = 4x^2 - 16x + 12$

  Bu denklemde $A=4$, $B=-16$ ve $C=12$ değerlerini görüyoruz.

• 5. X Ekseni Kesişim Noktalarının Apsisleri Çarpımını Bulalım:

  Bir parabolün x eksenini kestiği noktalar, $y=0$ olduğunda elde edilen $Ax^2 + Bx + C = 0$ denkleminin kökleridir. Bu köklerin çarpımı (Vieta formülleri) $\frac{C}{A}$ formülüyle bulunur.

  Bizim denklemimiz $4x^2 - 16x + 12 = 0$ olduğuna göre, $A=4$ ve $C=12$ değerlerini kullanarak kökler çarpımını hesaplayalım:

  Kökler çarpımı $= \frac{C}{A} = \frac{12}{4} = 3$

Bu durumda, parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri çarpımı $3$'tür.

Cevap A seçeneğidir.