Sayı kümelerinde sıralı olma özelliği Test 1

Reel sayılar kümesi için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A) Her alt kümesinin bir en küçük elemanı vardır
B) Her alt kümesinin bir en büyük elemanı vardır
C) Tam sayılar kümesine genişletilmiştir
D) Herhangi iki reel sayı arasında sonsuz çoklukta reel sayı vardır

• Merhaba sevgili öğrenciler! Reel sayılar kümesi, matematikte çok temel ve önemli bir kavramdır. Şimdi bu soruyu adım adım inceleyerek doğru cevabı bulalım.
• A) Her alt kümesinin bir en küçük elemanı vardır
  • Bu ifade yanlıştır. Reel sayılar kümesinin her alt kümesinin bir en küçük elemanı olmak zorunda değildir. Örneğin, açık aralık $ (0, 1) $ kümesini düşünelim. Bu küme, $0$'dan büyük ve $1$'den küçük tüm reel sayıları içerir. Bu kümenin bir en küçük elemanı yoktur, çünkü $0$'a ne kadar yaklaşırsak yaklaşalım, her zaman $0$'a daha yakın ve hala kümenin içinde olan başka bir sayı bulabiliriz (örneğin, $0.001$ seçersek, $0.0005$ de kümededir ve daha küçüktür). Benzer şekilde, tüm pozitif reel sayılar kümesi $ (0, \infty) $ da en küçük elemana sahip değildir.
• B) Her alt kümesinin bir en büyük elemanı vardır
  • Bu ifade de yanlıştır. Tıpkı en küçük eleman örneğinde olduğu gibi, açık aralık $ (0, 1) $ kümesinin bir en büyük elemanı yoktur. $1$'e ne kadar yaklaşırsak yaklaşalım, her zaman $1$'e daha yakın ve hala kümenin içinde olan başka bir sayı bulabiliriz (örneğin, $0.999$ seçersek, $0.9995$ de kümededir ve daha büyüktür). Benzer şekilde, tüm reel sayılar kümesi $ (-\infty, \infty) $ veya tüm negatif reel sayılar kümesi $ (-\infty, 0) $ da en büyük elemana sahip değildir.
• C) Tam sayılar kümesine genişletilmiştir
  • Bu ifade yanlıştır. Reel sayılar kümesi $ (\mathbb{R}) $, tam sayılar kümesi $ (\mathbb{Z}) $'ni içeren çok daha büyük bir kümedir. Yani, tam sayılar kümesi, reel sayılar kümesinin bir alt kümesidir $ (\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}) $. Reel sayılar, tam sayılar kümesine genişletilmiş değil, aksine tam sayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesi $ (\mathbb{Q}) $ ile birlikte reel sayılar kümesinin bir parçasıdır. Reel sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayıların birleşimidir.
• D) Herhangi iki reel sayı arasında sonsuz çoklukta reel sayı vardır
  • Bu ifade doğrudur. Bu özellik, reel sayıların "yoğunluk" (denseness) özelliğidir. Reel sayılar kümesi o kadar yoğundur ki, birbirinden farklı herhangi iki reel sayı $a$ ve $b$ (diyelim ki $a < b$) arasında her zaman başka bir reel sayı bulabiliriz. Örneğin, $a$ ve $b$ arasındaki ortalama $ rac{a+b}{2} $ her zaman $a$ ile $b$ arasında bir reel sayıdır. Bu işlemi sonsuz kez tekrarlayarak, $a$ ile $b$ arasında sonsuz sayıda farklı reel sayı bulabiliriz. Örneğin, $1$ ile $2$ arasında $1.5$, $1.25$, $1.75$, $1.125$, $1.875$ gibi sonsuz çoklukta reel sayı vardır.

Cevap D seçeneğidir.