Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda sayı kümeleri arasındaki ilişkiyi anlamamız gerekiyor. Hangi kümenin diğerlerini kapsadığını bulmak için her bir kümenin tanımını ve birbirleriyle olan bağlantılarını adım adım inceleyelim.
- Doğal Sayılar Kümesi ($\mathbb{N}$): Bu küme, sayma sayıları olarak da bilinir. Genellikle $0, 1, 2, 3, ...$ şeklinde gösterilir. Bazı tanımlarda $0$ dahil edilmez, ancak genellikle $0$ ile başlarız. Örneğin, "kaç elman var?" diye sorduğumuzda verdiğimiz cevaplar doğal sayılardır.
- Tam Sayılar Kümesi ($\mathbb{Z}$): Bu küme, doğal sayılar kümesini ve bu sayıların negatiflerini (eksi işaretlilerini) içerir. Yani, $..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$ şeklindedir. Gördüğünüz gibi, her doğal sayı aynı zamanda bir tam sayıdır. Bu yüzden doğal sayılar kümesi, tam sayılar kümesinin bir alt kümesidir ($\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$).
- Rasyonel Sayılar Kümesi ($\mathbb{Q}$): Bu küme, iki tam sayının oranı (bölümü) şeklinde yazılabilen tüm sayıları içerir. Yani, $p/q$ şeklinde ifade edilebilen sayılardır, burada $p$ ve $q$ birer tam sayıdır ve $q$ sıfırdan farklıdır ($q \neq 0$). Örneğin, $1/2$, $-3/4$, $5$ (çünkü $5/1$ olarak yazılabilir), $0$ (çünkü $0/1$ olarak yazılabilir) rasyonel sayılardır. Her tam sayı, paydasına $1$ yazılarak rasyonel sayı olarak ifade edilebilir. Bu yüzden tam sayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesinin bir alt kümesidir ($\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$).
- Reel Sayılar Kümesi ($\mathbb{R}$): Bu küme, rasyonel sayılar kümesini ve irrasyonel sayılar kümesini (rasyonel olmayan sayılar) kapsar. İrrasyonel sayılar, iki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayılardır. Örneğin, $\sqrt{2}$, $\pi$ (pi sayısı) gibi sayılar irrasyoneldir. Reel sayılar, sayı doğrusu üzerindeki tüm noktaları temsil eder. Yani, rasyonel sayılar kümesi, reel sayılar kümesinin bir alt kümesidir ($\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$).
- Şimdi bu ilişkileri bir araya getirelim: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. Bu sıralama bize gösteriyor ki, doğal sayılar tam sayıların içinde, tam sayılar rasyonel sayıların içinde ve rasyonel sayılar da reel sayıların içindedir. Dolayısıyla, reel sayılar kümesi, bu listedeki diğer tüm kümeleri kapsayan en büyük kümedir.
Cevap D seçeneğidir.
