Kotanjant (cot) nedir Test 1

Birim çemberde, ordinatı -1/2 olan ve apsisi negatif olan bir nokta düşünülüyor. Bu noktaya karşılık gelen açının kotanjant değeri kaçtır?

A) -√3
B) √3
C) -1/√3
D) 1/√3

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruyu adım adım çözerek birim çember üzerindeki noktaların trigonometrik değerlerini nasıl bulduğumuzu pekiştirelim.

• 1. Adım: Verilen Bilgileri Anlayalım

  Soruda bize birim çember üzerinde bir nokta verildiği söyleniyor. Bu noktanın ordinatı (y-koordinatı) $y = -1/2$ ve apsisi (x-koordinatı) negatif. Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları $(\cos\theta, \sin\theta)$ şeklinde ifade edilir. Bu durumda:

  • $\sin\theta = -1/2$ (ordinat)
  • $\cos\theta < 0$ (apsis negatif)

  Bizden istenen, bu noktaya karşılık gelen $\theta$ açısının kotanjant değeri, yani $\cot\theta$ değeridir.

• 2. Adım: Açının Hangi Bölgede Olduğunu Belirleyelim

  Açının hangi bölgede olduğunu bilmek, $\cos\theta$ değerinin işaretini doğru belirlememiz için çok önemlidir.

  • $\sin\theta = -1/2$ olduğu için $\sin\theta$ negatiftir. Sinüs değeri 3. veya 4. bölgelerde negatiftir.
  • $\cos\theta < 0$ olduğu için kosinüs değeri negatiftir. Kosinüs değeri 2. veya 3. bölgelerde negatiftir.

  Her iki koşulu da sağlayan tek bölge 3. bölgedir. Demek ki, açımız 3. bölgededir.

• 3. Adım: $\cos\theta$ Değerini Bulalım

  Birim çemberde $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ temel özdeşliğini kullanabiliriz. Verilen $\sin\theta = -1/2$ değerini yerine yazalım:

  • $(-1/2)^2 + \cos^2\theta = 1$
  • $1/4 + \cos^2\theta = 1$
  • $\cos^2\theta = 1 - 1/4$
  • $\cos^2\theta = 3/4$
  • $\cos\theta = \pm\sqrt{3/4}$
  • $\cos\theta = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

  2. adımda açının 3. bölgede olduğunu belirlemiştik. 3. bölgede kosinüs değeri negatiftir. Bu yüzden $\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ olmalıdır.

• 4. Adım: Kotanjant Değerini Hesaplayalım

  Kotanjant, $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ formülü ile hesaplanır. Bulduğumuz $\sin\theta$ ve $\cos\theta$ değerlerini yerine yazalım:

  • $\cot\theta = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}$
  • $\cot\theta = \frac{-\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{-1}$
  • $\cot\theta = \frac{-\sqrt{3}}{-1}$
  • $\cot\theta = \sqrt{3}$

  Böylece, istenen kotanjant değerini $\sqrt{3}$ olarak buluruz.

Cevap B seçeneğidir.