Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, logaritma özelliklerini kullanarak bir denklemi çözmemiz isteniyor. Adım adım ilerleyerek doğru cevabı bulalım.
- Adım 1: Logaritma Özelliklerini Hatırlayalım
- Logaritma denklemlerini çözerken en çok kullandığımız özelliklerden biri şudur: Eğer tabanlar aynıysa, $\ln a - \ln b = \ln \left(\frac{a}{b}\right)$ şeklindedir. Bu özelliği denklemimizin sol tarafına uygulayacağız.
- Adım 2: Denklemin Sol Tarafını Sadeleştirelim
- Denklemimiz $7. \ln(x+1) - \ln(x-1) = \ln2$ şeklinde verilmiş. Ancak soruda $7.$ ifadesi muhtemelen bir yazım hatasıdır ve denklemin $\ln(x+1) - \ln(x-1) = \ln2$ şeklinde olması beklenir. Bu varsayımla devam edelim.
- $\ln(x+1) - \ln(x-1)$ ifadesini yukarıdaki özelliği kullanarak tek bir logaritma terimine dönüştürelim:
- $\ln(x+1) - \ln(x-1) = \ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$
- Adım 3: Denklemi Yeniden Yazalım
- Şimdi denklemimiz şu hale geldi:
- $\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right) = \ln2$
- Adım 4: Logaritmaları Eşitleyelim
- Eğer $\ln a = \ln b$ ise, bu durumda $a=b$ olmak zorundadır. Bu özelliği kullanarak logaritmalardan kurtulabiliriz:
- $\frac{x+1}{x-1} = 2$
- Adım 5: Cebirsel Denklemi Çözelim
- Şimdi elimizde basit bir cebirsel denklem var. $x$ değerini bulmak için denklemi çözelim:
- $\frac{x+1}{x-1} = 2$
- $(x+1) = 2 \cdot (x-1)$ (İçler dışlar çarpımı yaptık)
- $x+1 = 2x - 2$ (Parantezi dağıttık)
- Şimdi $x$ terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
- $1+2 = 2x - x$
- $3 = x$
- Adım 6: Çözümü Kontrol Edelim
- Logaritma tanımlı olabilmesi için logaritmanın içindeki ifadenin pozitif olması gerekir. Yani:
- $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$
- $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$
- Her iki koşulun da sağlanması için $x > 1$ olmalıdır. Bulduğumuz $x=3$ değeri, $x > 1$ koşulunu sağladığı için geçerli bir çözümdür.
Böylece denklemi sağlayan $x$ değerini $3$ olarak bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
