Yarıçap ve Çap Nedir? Tanımı ve Gösterimi Test 2

Bir daire grafiğinde, dairenin yarıçapı iki katına çıkarılırsa dairenin alanı kaç katına çıkar?

A) 2
B) 4
C) 6
D) 8

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir dairenin yarıçapı değiştiğinde alanının nasıl etkilendiğini adım adım inceleyeceğiz. Haydi başlayalım!

• Adım 1: Dairenin Alan Formülünü Hatırlayalım

  Bir dairenin alanını hesaplamak için kullandığımız temel formül şöyledir:

  $A = \pi r^2$

  Burada:

  • $A$, dairenin alanını temsil eder.
  • $\pi$ (pi), yaklaşık olarak 3.14159 olan sabit bir matematiksel sayıdır.
  • $r$, dairenin yarıçapını temsil eder.

  Bu formül bize, dairenin alanının yarıçapın karesiyle orantılı olduğunu gösterir. Bu bilgi, soruyu çözmek için anahtarımız olacak!

• Adım 2: Başlangıç Durumunu Belirleyelim

  Şimdi, dairenin başlangıçtaki yarıçapına ve alanına bir isim verelim. Diyelim ki:

  • Başlangıçtaki yarıçap: $r_1$
  • Başlangıçtaki alan: $A_1$

  Bu durumda, başlangıçtaki alan formülümüz şöyle olur:

  $A_1 = \pi r_1^2$

• Adım 3: Yarıçap İki Katına Çıkarıldığında Yeni Yarıçapı Bulalım

  Soruda, dairenin yarıçapının iki katına çıkarıldığı belirtiliyor. O zaman yeni yarıçapımızı hesaplayalım:

  • Yeni yarıçap: $r_2$

  Yarıçap iki katına çıktığı için:

  $r_2 = 2 \times r_1$

• Adım 4: Yeni Alanı Hesaplayalım

  Şimdi, yeni yarıçapımızı ($r_2$) kullanarak dairenin yeni alanını ($A_2$) hesaplayalım. Alan formülümüzü tekrar kullanıyoruz:

  $A_2 = \pi r_2^2$

  $r_2$ yerine $2r_1$ yazalım:

  $A_2 = \pi (2r_1)^2$

  Parantez içindeki ifadeyi açarken hem 2'nin hem de $r_1$'in karesini almayı unutmayın:

  $A_2 = \pi (2^2 \times r_1^2)$

  $2^2$ değeri 4 olduğu için:

  $A_2 = \pi (4 \times r_1^2)$

  Daha düzenli yazarsak:

  $A_2 = 4 \pi r_1^2$

• Adım 5: Alanın Kaç Katına Çıktığını Karşılaştıralım

  Şimdi başlangıçtaki alanımız ($A_1$) ile yeni alanımızı ($A_2$) karşılaştıralım:

  • Başlangıçtaki alan: $A_1 = \pi r_1^2$
  • Yeni alan: $A_2 = 4 \pi r_1^2$

  Gördüğümüz gibi, yeni alan ($A_2$), başlangıçtaki alanın ($A_1$) tam 4 katıdır. Yani, $A_2 = 4 \times A_1$.

  Bu, yarıçap iki katına çıkarıldığında alanın $2^2 = 4$ katına çıktığı anlamına gelir.

Sonuç olarak, bir dairenin yarıçapı iki katına çıkarılırsa, dairenin alanı 4 katına çıkar.

Cevap B seçeneğidir.