9. Sınıf Matematik 1. Tema Sayılar Konuları Nelerdir? Test 2

Bir kutudaki bilyeler 4'erli sayıldığında 3 bilye, 5'erli sayıldığında 4 bilye artıyor. Kutuda 50'den az bilye olduğuna göre en fazla kaç bilye vardır?

A) 39
B) 43
C) 47
D) 49

Bu tür sorular, kalanlı bölme ve ortak katlar (EKOK) kavramlarını anlamamızı gerektirir. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Soruyu Anlayalım ve Matematiksel İfadelere Dönüştürelim
• Soruda verilen bilgilere göre, kutudaki bilye sayısına $B$ diyelim.
• Bilyeler 4'erli sayıldığında 3 bilye artıyorsa, bu şu anlama gelir: $B$ sayısının 4 ile bölümünden kalan 3'tür. Matematiksel olarak bunu $B \equiv 3 \pmod{4}$ şeklinde ifade ederiz.
• Bilyeler 5'erli sayıldığında 4 bilye artıyorsa, bu da şu anlama gelir: $B$ sayısının 5 ile bölümünden kalan 4'tür. Matematiksel olarak bunu $B \equiv 4 \pmod{5}$ şeklinde ifade ederiz.
• Ayrıca, kutuda 50'den az bilye olduğu belirtilmiştir. Yani $B < 50$ olmalıdır.
• Adım 2: Kalanları Ortak Bir Noktaya Getirelim
• İlk ifadeye bakalım: $B \equiv 3 \pmod{4}$. Eğer bilye sayısına 1 eklersek, $B+1 \equiv 3+1 \pmod{4}$, yani $B+1 \equiv 4 \pmod{4}$ olur. Bu da $B+1 \equiv 0 \pmod{4}$ demektir. Yani $B+1$ sayısı 4'ün tam katıdır.
• İkinci ifadeye bakalım: $B \equiv 4 \pmod{5}$. Eğer bilye sayısına 1 eklersek, $B+1 \equiv 4+1 \pmod{5}$, yani $B+1 \equiv 5 \pmod{5}$ olur. Bu da $B+1 \equiv 0 \pmod{5}$ demektir. Yani $B+1$ sayısı 5'in tam katıdır.
• Adım 3: En Küçük Ortak Katı (EKOK) Bulalım
• $B+1$ sayısı hem 4'ün hem de 5'in tam katı olduğuna göre, $B+1$ sayısı 4 ve 5'in en küçük ortak katının (EKOK) bir katı olmalıdır.
• EKOK(4, 5) hesaplayalım. 4 ve 5 aralarında asal sayılar olduğu için EKOK'ları çarpımlarına eşittir: $4 \times 5 = 20$.
• Demek ki $B+1$ sayısı 20'nin bir katı olmalıdır. Bunu $B+1 = 20k$ şeklinde yazabiliriz, burada $k$ bir pozitif tam sayıdır.
• Adım 4: Olası Bilye Sayılarını Bulalım
• $B+1 = 20k$ ise, $B = 20k - 1$ olur. Şimdi $k$ yerine farklı pozitif tam sayılar koyarak $B$ değerlerini bulalım:
• Eğer $k=1$ ise, $B = 20(1) - 1 = 19$.
• Eğer $k=2$ ise, $B = 20(2) - 1 = 39$.
• Eğer $k=3$ ise, $B = 20(3) - 1 = 59$.
• Adım 5: Şartlara Uyan En Büyük Değeri Seçelim
• Soruda kutuda 50'den az bilye olduğu belirtilmişti ($B < 50$).
• Bulduğumuz olası bilye sayıları 19, 39 ve 59'dur.
• 59 sayısı 50'den büyük olduğu için bu seçeneği eleriz.
• Geriye kalan 19 ve 39 sayıları 50'den küçüktür.
• Soruda "en fazla kaç bilye vardır?" diye sorulduğu için, bu iki sayıdan en büyüğünü seçmeliyiz. Bu da 39'dur.

Cevap A seçeneğidir.