6. sınıf matematik bir doğal sayının çarpanları test çöz Test 1

Bir sınıftaki öğrenciler 4'erli ve 6'şarlı gruplandığında hiç öğrenci artmamaktadır. Bu sınıftaki öğrenci sayısı 50'den az olduğuna göre, sınıf mevcudunun çarpan sayısı kaçtır?

A) 6
B) 8
C) 9
D) 12

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde, bir sınıftaki öğrenci sayısının belirli özelliklerini kullanarak sınıf mevcudunun çarpan sayısını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözelim.

• Adım 1: Sınıf Mevcudunun Özelliğini Anlayalım

  Soruda, öğrenciler 4'erli ve 6'şarlı gruplandığında hiç öğrenci artmadığı belirtiliyor. Bu ne anlama geliyor? Bu, sınıf mevcudunun hem 4'ün hem de 6'nın tam katı olması gerektiği anlamına gelir. Yani, sınıf mevcudu 4 ve 6'nın ortak bir katıdır.

• Adım 2: En Küçük Ortak Katı (EKOK) Bulalım

  Sınıf mevcudunun 4 ve 6'nın ortak katı olduğunu anladığımıza göre, öncelikle bu iki sayının en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız. EKOK, her iki sayının da en küçük ortak katıdır ve diğer tüm ortak katlar bu EKOK'un katları olacaktır.

  • 4'ün katları: $4, 8, \mathbf{12}, 16, 20, 24, \dots$
  • 6'nın katları: $6, \mathbf{12}, 18, 24, 30, \dots$

  Gördüğümüz gibi, 4 ve 6'nın en küçük ortak katı (EKOK) $12$'dir. Yani, sınıf mevcudu $12$'nin bir katı olmalıdır.

• Adım 3: Sınıf Mevcudu İçin Olası Değerleri Belirleyelim

  Sınıf mevcudunun $12$'nin katı olması gerektiğini biliyoruz. Ayrıca soruda, sınıf mevcudunun $50$'den az olduğu belirtiliyor. Şimdi $12$'nin $50$'den küçük katlarını bulalım:

  • $12 \times 1 = 12$
  • $12 \times 2 = 24$
  • $12 \times 3 = 36$
  • $12 \times 4 = 48$

  Bu durumda, sınıf mevcudu $12, 24, 36$ veya $48$ olabilir.

• Adım 4: Her Bir Olası Sınıf Mevcudunun Çarpan Sayısını Bulalım

  Şimdi her bir olası sınıf mevcudunun kaç tane çarpanı olduğunu bulmamız gerekiyor. Bir sayının çarpan sayısını bulmak için, sayıyı asal çarpanlarına ayırırız. Eğer bir sayı $a^x \cdot b^y \cdot c^z$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılıyorsa, çarpan sayısı $(x+1)(y+1)(z+1)$ formülüyle bulunur.

  • Sınıf Mevcudu = 12:

    Asal çarpanlarına ayırma: $12 = 2^2 \times 3^1$

    Çarpan sayısı: $(2+1) \times (1+1) = 3 \times 2 = 6$

  • Sınıf Mevcudu = 24:

    Asal çarpanlarına ayırma: $24 = 2^3 \times 3^1$

    Çarpan sayısı: $(3+1) \times (1+1) = 4 \times 2 = 8$

  • Sınıf Mevcudu = 36:

    Asal çarpanlarına ayırma: $36 = 2^2 \times 3^2$

    Çarpan sayısı: $(2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 = 9$

  • Sınıf Mevcudu = 48:

    Asal çarpanlarına ayırma: $48 = 2^4 \times 3^1$

    Çarpan sayısı: $(4+1) \times (1+1) = 5 \times 2 = 10$

• Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Bulduğumuz çarpan sayılarını seçeneklerle karşılaştıralım:

  • Sınıf mevcudu $12$ ise çarpan sayısı $6$'dır. (A seçeneği)
  • Sınıf mevcudu $24$ ise çarpan sayısı $8$'dir. (B seçeneği)
  • Sınıf mevcudu $36$ ise çarpan sayısı $9$'dur. (C seçeneği)
  • Sınıf mevcudu $48$ ise çarpan sayısı $10$'dur. (Seçeneklerde yok)

  Soruda "sınıf mevcudunun çarpan sayısı kaçtır?" diye sorulduğu ve seçeneklerde sadece bir tanesi doğru olabileceği için, bu durumda sınıf mevcudunun $36$ olduğu ve çarpan sayısının $9$ olduğu sonucuna varırız.

Cevap C seçeneğidir.