\( \cos^4 x - \sin^4 x = \frac{1}{2} \) olduğuna göre, cos2x ifadesinin değeri kaçtır?
A) \( \frac{1}{4} \)
B) \( \frac{1}{2} \)
C) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
D) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Sevgili öğrenciler, bu soruda trigonometrik özdeşlikleri kullanarak verilen denklemi sadeleştirecek ve $ \cos2x $ ifadesinin değerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Denklemi Sadeleştirme
- Verilen denklem $ \cos^4 x - \sin^4 x = \frac{1}{2} $ şeklindedir. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırmak için iki kare farkı özdeşliğini hatırlayalım: $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $.
- Burada $ a = \cos^2 x $ ve $ b = \sin^2 x $ olarak düşünebiliriz. Böylece $ \cos^4 x - \sin^4 x $ ifadesini şu şekilde yazabiliriz:
- $ (\cos^2 x)^2 - (\sin^2 x)^2 = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) $
- Adım 2: Temel Trigonometrik Özdeşlikleri Kullanma
- Şimdi elde ettiğimiz ifadeyi daha da sadeleştirmek için iki önemli trigonometrik özdeşliği hatırlayalım:
- Birincisi, temel özdeşlik: $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.
- İkincisi, yarım açı formülü (veya iki kat açı formülü): $ \cos2x = \cos^2 x - \sin^2 x $.
- Adım 3: Özdeşlikleri Denklemde Yerine Koyma
- Bulduğumuz bu özdeşlikleri Adım 1'de çarpanlarına ayırdığımız ifadeye yerleştirelim:
- $ (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = (\cos2x)(1) $
- Yani, $ \cos^4 x - \sin^4 x $ ifadesi $ \cos2x $ değerine eşittir.
- Adım 4: $ \cos2x $ Değerini Bulma
- Soruda bize $ \cos^4 x - \sin^4 x = \frac{1}{2} $ verildiğine göre, bu ifadeyi $ \cos2x $ ile eşitleyebiliriz:
- $ \cos2x = \frac{1}{2} $
Böylece $ \cos2x $ ifadesinin değerini $ \frac{1}{2} $ olarak bulmuş oluruz.
Cevap B seçeneğidir.
