Trigonometrik fonksiyonlar 11. sınıf

Question

Bu konuyu anlamakta gerçekten zorlanıyorum. Özellikle birim çember üzerinde sinüs, kosinüs ve tanjant değerlerini bulmak kafamı karıştırıyor. Açıların genişletilmesi ve bu fonksiyonların işaretlerini hangi bölgede ne olduğunu karıştırıyorum.

Answer 1

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometri, üçgenlerin kenar uzunlukları ile açıları arasındaki ilişkiyi inceleyen matematik dalıdır. Trigonometrik fonksiyonlar ise bu ilişkiyi ifade etmemizi sağlayan temel araçlardır.

1. Temel Trigonometrik Fonksiyonlar

Bir dik üçgende, bir dar açının trigonometrik oranları aşağıdaki gibi tanımlanır:

• Sinüs (sin): Karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır. \( \sin(\theta) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \)
• Kosinüs (cos): Komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır. \( \cos(\theta) = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \)
• Tanjan (tan): Karşı dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranıdır. \( \tan(\theta) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}} = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \)

Bu üç fonksiyona ek olarak, bunların çarpmaya göre tersleri olan üç fonksiyon daha vardır:

• Kosekant (csc): \( \csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} \)
• Sekant (sec): \( \sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} \)
• Kotanjant (cot): \( \cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \)

2. Birim Çember ve Geniş Açıların Trigonometrik Değerleri

Trigonometrik fonksiyonlar sadece dar açılar için değil, tüm açılar için tanımlanabilir. Bunun için birim çember kullanılır.

Merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir. Birim çember üzerindeki bir nokta \( P(x, y) \) olsun. Bu noktanın orijine birleştirilmesiyle oluşan yarıçap vektörünün, pozitif x-ekseni ile yaptığı \( \theta \) açısı için:

• \( \sin(\theta) = y \) (Noktanın y koordinatı)
• \( \cos(\theta) = x \) (Noktanın x koordinatı)
• \( \tan(\theta) = \frac{y}{x} \) (x sıfır değilse)

Bu tanım sayesinde 0°'den 360°'ye (veya \( 0 \)'dan \( 2\pi \) radyana) kadar tüm açıların trigonometrik değerlerini bulabiliriz.

3. Temel Özdeşlikler

Trigonometrik fonksiyonlar arasında her zaman doğru olan bazı temel bağıntılar vardır. Bunlara trigonometrik özdeşlikler denir.

• Pisagor Özdeşliği: \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \)
• Tanjan ve Sekant Özdeşliği: \( 1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta) \)
• Kotanjant ve Kosekant Özdeşliği: \( 1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta) \)

4. Sık Kullanılan Açıların Trigonometrik Değerleri

Aşağıdaki tabloda bazı önemli açıların trigonometrik değerleri verilmiştir. Bu değerleri ezberlemek problem çözümlerinde hız kazandırır.

Açı (θ)	sin(θ)	cos(θ)	tan(θ)
0° (0 radyan)	0	1	0
30° (\( \frac{\pi}{6} \))	\( \frac{1}{2} \)	\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)	\( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
45° (\( \frac{\pi}{4} \))	\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)	\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)	1
60° (\( \frac{\pi}{3} \))	\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)	\( \frac{1}{2} \)	\( \sqrt{3} \)
90° (\( \frac{\pi}{2} \))	1	0	Tanımsız

5. Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

Bir trigonometrik fonksiyonun verdiği değerden açıyı bulmamızı sağlayan fonksiyonlardır.

• Arksinüs (arcsin veya sin⁻¹): \( y = \sin(x) \) ise \( x = \arcsin(y) \)
• Arkkosinüs (arccos veya cos⁻¹): \( y = \cos(x) \) ise \( x = \arccos(y) \)
• Arktanjant (arctan veya tan⁻¹): \( y = \tan(x) \) ise \( x = \arctan(y) \)

Not: Ters trigonometrik fonksiyonlar birebir ve örten oldukları aralıklarda tanımlanır. Örneğin, arcsin fonksiyonunun temel değer aralığı \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \)'dir.