10. Sınıf Ebob ve Ekok Özellikleri Test 4

3. İki pozitif tam sayı $K$ ve $L$, asal çarpanlarına ayrılmış şekilde aşağıdaki gibi verilmiştir:
$K = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^1$
$L = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^c$
Bu iki sayının EBOB($K,L$) değeri $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$ ve EKOK($K,L$) değeri $2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^2$ olduğuna göre, $a+b+c$ toplamı kaçtır?

A) $7$
B) $8$
C) $9$
D) $10$

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim:

• Adım 1: EBOB ve EKOK'un tanımını hatırlayalım.
  • EBOB (En Büyük Ortak Bölen), iki sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. Asal çarpanlara ayrılmış hallerinde, her asal çarpanın üssü, iki sayıdaki üslerin minimumu alınarak bulunur.
  • EKOK (En Küçük Ortak Kat), iki sayının ortak katlarının en küçüğüdür. Asal çarpanlara ayrılmış hallerinde, her asal çarpanın üssü, iki sayıdaki üslerin maksimumu alınarak bulunur.
• Adım 2: Verilenleri inceleyelim.
  • $K = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^1$
  • $L = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^c$
  • EBOB($K,L$) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$
  • EKOK($K,L$) = $2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^2$
• Adım 3: $a$, $b$ ve $c$ değerlerini bulalım.
  • $a$ değerini bulma: EBOB'daki 2'nin üssü 2 ve EKOK'daki 2'nin üssü 3'tür. Bu durumda, min($a$, 3) = 2 ve max($a$, 3) = 3 olmalıdır. Buradan $a = 2$ bulunur.
  • $b$ değerini bulma: EBOB'daki 3'ün üssü 2 ve EKOK'daki 3'ün üssü 4'tür. Bu durumda, min($b$, 2) = 2 ve max($b$, 2) = 4 olmalıdır. Buradan $b = 4$ bulunur.
  • $c$ değerini bulma: EBOB'daki 5'in üssü 1 ve EKOK'daki 5'in üssü 2'dir. Bu durumda, min(1, $c$) = 1 ve max(1, $c$) = 2 olmalıdır. Buradan $c = 2$ bulunur.
• Adım 4: $a+b+c$ toplamını hesaplayalım.
  • $a = 2$, $b = 4$ ve $c = 2$ olduğuna göre, $a + b + c = 2 + 4 + 2 = 8$ olur.

Cevap B seçeneğidir.