Bir sayı doğrusunda A = {x | -2 < x ≤ 4} ve B = {x | 1 ≤ x < 6} kümeleri veriliyor. Buna göre A ∪ B kümesinin sayı doğrusundaki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (-2, 6)Bu soruda, sayı doğrusunda verilen iki kümenin birleşimini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Öncelikle, verilen kümelerin sayı doğrusunda hangi aralıkları temsil ettiğini belirleyelim.
$A = \{x | -2 < x \leq 4\}$ kümesi, $x$ değerlerinin $-2$'den büyük ve $4$'e eşit veya $4$'ten küçük olduğu anlamına gelir. Sayı doğrusunda bu aralık, açık aralık olarak $-2$'den başlar ($-2$ dahil değil) ve kapalı aralık olarak $4$'te biter ($4$ dahil). Yani, $A = (-2, 4]$ şeklinde gösterilir.
$B = \{x | 1 \leq x < 6\}$ kümesi, $x$ değerlerinin $1$'e eşit veya $1$'den büyük ve $6$'dan küçük olduğu anlamına gelir. Sayı doğrusunda bu aralık, kapalı aralık olarak $1$'den başlar ($1$ dahil) ve açık aralık olarak $6$'da biter ($6$ dahil değil). Yani, $B = [1, 6)$ şeklinde gösterilir.
İki kümenin birleşimi ($A \cup B$), her iki kümedeki tüm elemanları içeren kümedir. Sayı doğrusunda bu, her iki kümenin kapsadığı tüm noktaları bir araya getirmek anlamına gelir. Yani, en soldaki noktadan en sağdaki noktaya kadar olan tüm aralığı bulmalıyız.
En Sol Nokta: $A$ kümesinin en sol noktası $-2$'dir (dahil değil). $B$ kümesinin en sol noktası $1$'dir (dahil). Birleşim kümesi, bu iki noktanın en küçüğünden başlamalıdır. Yani, $-2$'den başlayacağız. $-2$, $A$ kümesine dahil olmadığı için, birleşim kümesine de dahil olmayacaktır. Bu yüzden sol taraf açık aralık olacaktır: $(-2$.
En Sağ Nokta: $A$ kümesinin en sağ noktası $4$'tür (dahil). $B$ kümesinin en sağ noktası $6$'dır (dahil değil). Birleşim kümesi, bu iki noktanın en büyüğünde bitmelidir. Yani, $6$'da biteceğiz. $6$, $B$ kümesine dahil olmadığı için, birleşim kümesine de dahil olmayacaktır. Bu yüzden sağ taraf açık aralık olacaktır: $6)$.
Aralığın Tamamı: $-2$'den $6$'ya kadar olan tüm sayılar, $A$ veya $B$ kümelerinden en az birine dahildir. Örneğin, $0$ sayısı $A$ kümesindedir. $5$ sayısı $B$ kümesindedir. $2$ sayısı hem $A$ hem de $B$ kümesindedir. Bu nedenle, birleşim kümesi tüm bu aralığı kapsar.
Yukarıdaki adımları birleştirdiğimizde, $A \cup B$ kümesi $-2$'den başlar (dahil değil) ve $6$'da biter (dahil değil). Bu da $(-2, 6)$ aralığına karşılık gelir.
Cevap A seçeneğidir.
