9. Sınıf √a+2√b ve √a-2√b biçimindeki köklü gösterimler nedir? Test 2

Bir ifadenin √a±2√b şeklinde yazılabilmesi için a²-4b'nin nasıl bir sayı olması gerekir?

A) Tam sayı
B) Negatif sayı
C) Tam kare
D) Asal sayı

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, köklü ifadelerin sadeleştirilmesiyle ilgili önemli bir kuralı anlamaya çalışacağız. Özellikle iç içe köklerin nasıl sadeleştirilebileceğini ve bunun için hangi koşulun gerektiğini inceleyeceğiz.

• Adım 1: İç içe köklü ifadelerin sadeleştirilme prensibini hatırlayalım.

  Genel olarak, $\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ şeklindeki bir ifadeyi sadeleştirmek için kullanılan bir formül vardır:

  $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}}$

  Bu formülün sonucunun, tekrar iç içe kök içermeyen (yani $\sqrt{x} \pm \sqrt{y}$ şeklinde) bir ifade olabilmesi için, kök içindeki $\sqrt{A^2 - B}$ ifadesinin bir tam sayı olması gerekir. Yani $A^2 - B$ ifadesi bir tam kare olmalıdır.

• Adım 2: Soruda verilen ifadeyi genel formülle ilişkilendirelim.

  Soruda bize verilen ifade $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$ şeklindedir. Bu ifadeyi yukarıdaki genel formüle benzetmek için $2\sqrt{b}$ ifadesini tek bir kök içine almalıyız. Bildiğimiz gibi, $2\sqrt{b} = \sqrt{2^2 \cdot b} = \sqrt{4b}$'dir.

  O halde, $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$ ifadesini $\sqrt{a \pm \sqrt{4b}}$ şeklinde yazabiliriz.

• Adım 3: Genel formüldeki $A$ ve $B$ değerlerini belirleyelim.

  Şimdi, $\sqrt{a \pm \sqrt{4b}}$ ifadesini $\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ genel formuyla karşılaştırırsak:

  • $A = a$
  • $B = 4b$
• Adım 4: Sadeleştirme koşulunu uygulayalım.

  Yukarıdaki Adım 1'de belirttiğimiz gibi, bu ifadenin sadeleşebilmesi için $A^2 - B$ ifadesinin bir tam kare olması gerekir. $A$ ve $B$ değerlerini yerine koyarsak:

  $A^2 - B = a^2 - 4b$

  Bu durumda, $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$ ifadesinin sadeleşebilmesi (yani dıştaki kökün kalkıp $\sqrt{x} \pm \sqrt{y}$ gibi bir ifadeye dönüşebilmesi) için $a^2 - 4b$ ifadesinin bir tam kare sayı olması şarttır.

• Adım 5: Bir örnekle pekiştirelim.

  Örneğin, $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$ ifadesini ele alalım. Burada $a=5$ ve $b=6$'dır.

  $a^2 - 4b = 5^2 - 4(6) = 25 - 24 = 1$.

  $1$ bir tam karedir ($1^2 = 1$). Bu yüzden ifade sadeleşebilir:

  $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{5+\sqrt{1}}{2}} + \sqrt{\frac{5-\sqrt{1}}{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} + \sqrt{\frac{4}{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$.

  Gördüğünüz gibi, $a^2 - 4b$ bir tam kare olduğunda ifade sadeleşti.

Sonuç olarak, bir ifadenin $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$ şeklinde yazıldığında, bu ifadenin daha da sadeleşebilmesi için $a^2 - 4b$ değerinin bir tam kare olması gerekir.

Cevap C seçeneğidir.