$\arctan(1) + \arctan(2) + \arctan(3)$ işleminin sonucu kaçtır?
A) $\pi$Bu soruyu çözmek için, ters tanjant fonksiyonunun temel özelliklerini ve toplam formülünü kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:
Tanjantı $1$ olan açıyı arıyoruz. Birim çember üzerinde veya özel üçgenlerden bildiğimiz üzere, $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ veya $\tan(45^\circ) = 1$ dir. Ters tanjant fonksiyonunun tanım aralığı $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ olduğundan, $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ olur.
İki ters tanjantın toplamı için genel bir formül bulunmaktadır: $\arctan(x) + \arctan(y) = \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$. Ancak bu formül $xy < 1$ olduğunda geçerlidir. Eğer $xy > 1$ ve $x, y > 0$ ise, formül $\arctan(x) + \arctan(y) = \pi + \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ şeklinde değişir.
Burada $x=2$ ve $y=3$ olduğundan, $xy = 2 \times 3 = 6$ dır. $6 > 1$ olduğu için ikinci formülü kullanmalıyız.
Öncelikle pay ve paydayı hesaplayalım:
Pay: $x+y = 2+3 = 5$
Payda: $1-xy = 1 - (2 \times 3) = 1 - 6 = -5$
Bu değerleri formülde yerine koyarsak: $\arctan(2) + \arctan(3) = \pi + \arctan\left(\frac{5}{-5}\right) = \pi + \arctan(-1)$
Tanjantı $-1$ olan açıyı arıyoruz. $\tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$ veya $\tan(-45^\circ) = -1$ dir. Ters tanjant fonksiyonunun tanım aralığı $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ olduğundan, $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$ olur.
Şimdi bulduğumuz değerleri ana ifadeye yerleştirelim:
İlk olarak $\arctan(1)$ değerini biliyoruz: $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$
İkinci olarak $\arctan(2) + \arctan(3)$ değerini hesapladık: $\arctan(2) + \arctan(3) = \pi + \arctan(-1) = \pi + (-\frac{\pi}{4}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$
Sonuç olarak, $\arctan(1) + \arctan(2) + \arctan(3) = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$ bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
