$\arcsin\left(\frac{3}{5}\right) = \alpha$ olduğuna göre, $\tan(\alpha)$ kaçtır?
A) $\frac{3}{4}$Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek trigonometrik ifadeler arasındaki ilişkiyi daha iyi anlayalım.
Öncelikle bize verilen ifadeyi inceleyelim: $\arcsin\left(\frac{3}{5}\right) = \alpha$.
Bu ifade, sinüsü $\frac{3}{5}$ olan açının $\alpha$ olduğu anlamına gelir. Yani, $\sin(\alpha) = \frac{3}{5}$'tir.
Şimdi bir dik üçgen düşünelim. Bir açının sinüsü, o açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranıdır.
Yani, $\sin(\alpha) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{3}{5}$ olduğuna göre, $\alpha$ açısının karşısındaki kenarın uzunluğunu 3 birim, hipotenüsün uzunluğunu ise 5 birim olarak kabul edebiliriz.
Dik üçgende Pisagor Teoremi'ni ($a^2 + b^2 = c^2$) kullanarak $\alpha$ açısının komşu kenarını bulalım.
Karşı kenar $= 3$, Hipotenüs $= 5$. Komşu kenara $x$ diyelim.
$3^2 + x^2 = 5^2$
$9 + x^2 = 25$
$x^2 = 25 - 9$
$x^2 = 16$
$x = \sqrt{16}$
$x = 4$
Buna göre, $\alpha$ açısının komşu kenarının uzunluğu 4 birimdir.
Son olarak, bizden $\tan(\alpha)$ değerini bulmamız isteniyor.
Bir açının tanjantı, o açının karşısındaki kenarın komşu kenara oranıdır.
Yani, $\tan(\alpha) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}}$'dır.
Bulduğumuz değerleri yerine yazalım:
Karşı kenar $= 3$ (ilk adımdan)
Komşu kenar $= 4$ (önceki adımdan)
$\tan(\alpha) = \frac{3}{4}$
Bu durumda, $\tan(\alpha)$ değeri $\frac{3}{4}$'tür.
Cevap A seçeneğidir.
