\( 3^{12} \) sayısının yarısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) \( 3^6 \)Bugün sizlerle üslü sayılarla ilgili güzel bir problem çözeceğiz. Sorumuz, $3^{12}$ sayısının yarısının neye eşit olduğunu bulmak.
Bir sayının yarısını bulmak demek, o sayıyı $2$'ye bölmek demektir. Yani bizden istenen işlem $\frac{3^{12}}{2}$'yi hesaplamaktır.
Elimizde $\frac{3^{12}}{2}$ ifadesi var. Seçeneklere baktığımızda, çoğu seçenekte $3$ tabanı ve farklı üsler görüyoruz. Bu durumda, $3^{12}$ ifadesini $3^{11}$ içeren bir şekilde yazmaya çalışabiliriz. Üslü sayılarda çarpma kuralını hatırlayalım: $a^{m+n} = a^m \times a^n$. Bu kuralı kullanarak $3^{12}$'yi $3^{11} \times 3^1$ şeklinde yazabiliriz. ($11+1=12$ olduğu için).
Şimdi ifademizi yeniden yazalım:
$\frac{3^{12}}{2} = \frac{3^{11} \times 3^1}{2}$
Burada $3^1$ demek $3$ demektir. Yani ifade şöyle olur:
$\frac{3^{11} \times 3}{2}$
İfadeyi daha da sadeleştirebiliriz. $\frac{3}{2}$ işlemini yapalım:
$\frac{3}{2} = 1.5$
Bu durumda, ilk ifademiz şu hale gelir:
$1.5 \times 3^{11}$
Bulduğumuz sonuç olan $1.5 \times 3^{11}$'i seçeneklerle karşılaştıralım:
A) $3^6$ seçeneği yanlıştır. Üslü bir sayının yarısını bulurken üs yarıya bölünmez. Örneğin, $2^4 = 16$ iken yarısı $8$'dir, $2^2 = 4$ değildir.
B) $3^{11}$ seçeneği, $3^{12}$ sayısının $3$'e bölünmüş halidir ($3^{12}/3 = 3^{11}$), yarısı değildir.
C) $6^6$ seçeneği, $(2 \times 3)^6 = 2^6 \times 3^6$ demektir ve bu da $3^{12}$'nin yarısı değildir.
D) $1.5 \times 3^{11}$ seçeneği, bizim bulduğumuz sonuçla tamamen aynıdır.
Cevap D seçeneğidir.
