Bu soruda, farklı tabanlara sahip üslü sayıları aynı tabana dönüştürerek çarpma işlemini yapmamız ve sonucu $2^n$ şeklinde ifade etmemiz isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Tabanları Ortak Bir Sayının Kuvveti Olarak Yazma
- Verilen işlemde $8^5$ ve $4^3$ ifadeleri bulunmaktadır. Bu sayıların tabanları olan 8 ve 4'ü, ortak bir taban olan 2'nin kuvvetleri şeklinde yazabiliriz.
- $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$
- $4 = 2 \times 2 = 2^2$
- Adım 2: İfadeleri Yeniden Yazma
- Şimdi, orijinal ifadelerdeki 8 ve 4 yerine bulduğumuz 2'nin kuvvetlerini yazalım:
- $8^5 = (2^3)^5$
- $4^3 = (2^2)^3$
- Adım 3: Üssün Üssü Kuralını Uygulama
- Üslü sayılarda bir sayının üssünün tekrar üssü alındığında, üsler çarpılır. Yani $(a^b)^c = a^{b \times c}$ kuralını uygulayacağız.
- $(2^3)^5 = 2^{3 \times 5} = 2^{15}$
- $(2^2)^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6$
- Adım 4: Çarpma İşlemini Gerçekleştirme
- Şimdi orijinal işlemi, 2 tabanında bulduğumuz yeni üslü ifadelerle yeniden yazalım ve çarpma işlemini yapalım:
- $8^5 \times 4^3 = 2^{15} \times 2^6$
- Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır. Yani $a^b \times a^c = a^{b+c}$ kuralını uygulayacağız.
- $2^{15} \times 2^6 = 2^{15+6} = 2^{21}$
- Adım 5: $n$ Değerini Bulma
- İşlemin sonucunu $2^{21}$ olarak bulduk. Soruda bu sonucun $2^n$ şeklinde yazıldığı belirtiliyor.
- $2^n = 2^{21}$
- Bu durumda, $n$ değeri 21'e eşittir.
Cevap C seçeneğidir.
