Üçgen eşitsizliği ne demek? Kenar uzunluğu nasıl sınırlar? Test 2

Kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve \(x\) cm olan bir üçgenin çevresi 24 cm'den büyük olduğuna göre, \(x\)'in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

A) 10
B) 11
C) 12
D) 13

Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek $x$'in alabileceği en küçük tam sayı değerini bulalım.

• 1. Adım: Üçgenin Çevresini Hesaplama
• Bir üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır. Kenar uzunluklarımız $6$ cm, $8$ cm ve $x$ cm olduğuna göre, üçgenin çevresi $6 + 8 + x$ olacaktır.
• Bu durumda, çevre $= 14 + x$ cm'dir.
• 2. Adım: Çevre Koşulunu Uygulama
• Soruda bize üçgenin çevresinin $24$ cm'den büyük olduğu söyleniyor. Bu bilgiyi bir eşitsizlik olarak yazabiliriz:
• $14 + x > 24$
• Şimdi bu eşitsizliği $x$ için çözelim:
• $x > 24 - 14$
• $x > 10$
• Bu, $x$'in $10$'dan büyük olması gerektiği anlamına gelir. Yani $x$, $11, 12, 13, ...$ gibi tam sayı değerler alabilir.
• 3. Adım: Üçgen Eşitsizliğini Uygulama
• Bir üçgenin var olabilmesi için kenar uzunlukları arasında belirli bir ilişki olması gerekir. Bu ilişkiye "Üçgen Eşitsizliği" denir. Üçgen eşitsizliğine göre, herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Ayrıca, herhangi iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değeri üçüncü kenarın uzunluğundan küçük olmalıdır.
• Kenarlarımız $6$, $8$ ve $x$ olduğuna göre, bu koşulları uygulayalım:
• a) $6 + 8 > x \implies 14 > x$
• b) $6 + x > 8 \implies x > 8 - 6 \implies x > 2$
• c) $8 + x > 6 \implies x > 6 - 8 \implies x > -2$ (Bir kenar uzunluğu negatif olamayacağı için bu koşul $x > 2$ koşulundan daha az kısıtlayıcıdır. Dolayısıyla $x > 2$ koşulunu dikkate almamız yeterlidir.)
• Bu üçgen eşitsizliklerinden $x$ için elde ettiğimiz aralık $2 < x < 14$'tür.
• 4. Adım: Tüm Koşulları Birleştirme
• Şimdi $x$ için bulduğumuz tüm koşulları birleştirelim:
• Çevre koşulundan: $x > 10$
• Üçgen eşitsizliğinden: $2 < x < 14$
• Bu iki koşulun da aynı anda sağlanması gerekir. Yani $x$, $10$'dan büyük olmalı VE $14$'ten küçük olmalıdır.
• Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, $10 < x < 14$ aralığını elde ederiz.
• 5. Adım: $x$'in En Küçük Tam Sayı Değerini Bulma
• $10 < x < 14$ aralığında $x$'in alabileceği tam sayı değerleri $11, 12, 13$'tür.
• Soruda bizden $x$'in alabileceği en küçük tam sayı değeri istendiği için, bu değerler arasından en küçüğünü seçmeliyiz.
• En küçük tam sayı değeri $11$'dir.

Cevap B seçeneğidir.