Kenar uzunlukları \(a\), \(b\) ve \(c\) olan bir üçgende \(a < b + c\), \(b < a + c\) ve \(c < a + b\) eşitsizlikleri sağlanır.
Buna göre, kenar uzunlukları 5 cm, 9 cm ve \(x\) cm olan bir üçgen için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir üçgenin kenar uzunlukları arasındaki temel ilişkiyi, yani Üçgen Eşitsizliği Teoremi'ni kullanacağız. Bu teorem, bir üçgenin oluşabilmesi için kenar uzunluklarının hangi şartları sağlaması gerektiğini bize söyler.
Üçgen Eşitsizliği Teoremi Nedir?
Bir üçgende, herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan daha büyük olmalıdır. Aynı zamanda, herhangi iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değeri, üçüncü kenarın uzunluğundan daha küçük olmalıdır. Soru metninde verilen eşitsizlikler bu teoremin temelini oluşturur:
$a < b + c$
$b < a + c$
$c < a + b$
Bu üç eşitsizliğin hepsi aynı anda sağlanmalıdır ki bir üçgen oluşabilsin.
Verilen Kenar Uzunluklarını Belirleyelim:
Üçgenimizin kenar uzunlukları 5 cm, 9 cm ve $x$ cm olarak verilmiştir. Şimdi bu değerleri Üçgen Eşitsizliği Teoremi'ne göre yerleştirelim.
Eşitsizlikleri Kuralım ve Çözelim:
Üç farklı kombinasyon için eşitsizlikleri yazıp $x$ değerini bulmaya çalışacağız:
Birinci Eşitsizlik: İlk iki kenarın toplamı üçüncüden büyük olmalı.
$5 + 9 > x$
$14 > x$
Bu da demektir ki $x < 14$.
İkinci Eşitsizlik: Diğer iki kenarın toplamı üçüncüden büyük olmalı.
$5 + x > 9$
Eşitsizliğin her iki tarafından 5 çıkaralım:
$x > 9 - 5$
$x > 4$.
Üçüncü Eşitsizlik: Kalan iki kenarın toplamı üçüncüden büyük olmalı.
$9 + x > 5$
Eşitsizliğin her iki tarafından 9 çıkaralım:
$x > 5 - 9$
$x > -4$.
Ancak, bir kenar uzunluğu negatif olamaz. $x$ zaten pozitif bir uzunluk olmalıdır ($x > 0$). Bu eşitsizlik ($x > -4$), $x > 4$ eşitsizliğine göre daha zayıf bir koşuldur. Yani $x > 4$ ise, $x > -4$ zaten sağlanmış olur. Bu yüzden bu eşitsizliği dikkate almamıza gerek kalmaz, çünkü $x > 4$ koşulu onu kapsar.
Tüm Eşitsizlikleri Birleştirelim:
Şimdi elde ettiğimiz geçerli eşitsizlikleri bir araya getirelim:
Elimizde $x < 14$ ve $x > 4$ koşulları var.
Bu iki koşulun aynı anda sağlanması gerekir. Yani $x$ hem 4'ten büyük hem de 14'ten küçük olmalıdır. Bunu tek bir eşitsizlik olarak şöyle yazabiliriz:
$4 < x < 14$.
Seçenekleri Değerlendirelim:
Bulduğumuz $4 < x < 14$ koşulunu seçeneklerle karşılaştıralım:
A) $x$ sadece 14'ten küçük olmalıdır ($x < 14$) - Eksik bir ifadedir, çünkü $x$'in aynı zamanda 4'ten büyük olması gerekir.
B) $x$ sadece 4'ten büyük olmalıdır ($x > 4$) - Eksik bir ifadedir, çünkü $x$'in aynı zamanda 14'ten küçük olması gerekir.
C) $x$ 4'ten büyük ve 14'ten küçük olmalıdır ($4 < x < 14$) - Bu ifade, bulduğumuz koşulla tamamen aynıdır.
D) $x$ 4'ten büyük veya 14'ten küçük olmalıdır ($x > 4$ veya $x < 14$) - Buradaki "veya" bağlacı yanlıştır. "Veya" demek, $x$'in 4'ten büyük ya da 14'ten küçük olmasının yeterli olduğu anlamına gelir ki bu da $x$ için neredeyse tüm pozitif sayıları kapsar (örneğin $x=20$ olsa $x>4$ sağlanır ama üçgen oluşmaz; $x=1$ olsa $x<14$ sağlanır ama üçgen oluşmaz). Oysa $x$ hem 4'ten büyük hem de 14'ten küçük olmak zorundadır.
Bu durumda, doğru seçenek C'dir.
Cevap C seçeneğidir.
