a, b, c ∈ ℝ olmak üzere a < b ve b < c veriliyor. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?
A) a < (a + b + c)/3 < c
B) (a + b)/2 < (b + c)/2
C) |a| < |b| < |c|
D) a² < b² < c²
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, $a, b, c$ gerçel sayılar olmak üzere $a < b$ ve $b < c$ koşulları verilmiştir. Bu iki eşitsizliği birleştirerek $a < b < c$ şeklinde yazabiliriz. Şimdi her bir seçeneği bu bilgi ışığında adım adım inceleyelim.
- Verilen Koşul: $a < b < c$
- A) $a < (a + b + c)/3 < c$
- Bu ifade, üç sayının aritmetik ortalamasının en küçük sayıdan büyük ve en büyük sayıdan küçük olduğunu belirtir. $a, b, c$ farklı sayılar olduğu için bu ifade her zaman doğrudur.
- İspatlayalım:
- Önce $a < (a+b+c)/3$ kısmını inceleyelim:
- Eşitsizliğin her iki tarafını $3$ ile çarpalım: $3a < a+b+c$
- Eşitsizliğin her iki tarafından $a$ çıkaralım: $2a < b+c$
- Biz biliyoruz ki $a < b$ ve $a < c$. Bu iki eşitsizliği taraf tarafa toplarsak $a+a < b+c$, yani $2a < b+c$ elde ederiz. Bu ifade doğrudur.
- Şimdi $(a+b+c)/3 < c$ kısmını inceleyelim:
- Eşitsizliğin her iki tarafını $3$ ile çarpalım: $a+b+c < 3c$
- Eşitsizliğin her iki tarafından $c$ çıkaralım: $a+b < 2c$
- Biz biliyoruz ki $a < c$ ve $b < c$. Bu iki eşitsizliği taraf tarafa toplarsak $a+b < c+c$, yani $a+b < 2c$ elde ederiz. Bu ifade de doğrudur.
- Dolayısıyla, A seçeneğindeki ifade her zaman doğrudur. Ancak, bu tür sorularda genellikle en temel veya en doğrudan çıkarım doğru cevap olarak kabul edilir.
- B) $(a + b)/2 < (b + c)/2$
- Bu eşitsizliğin her zaman doğru olup olmadığını kontrol edelim.
- Eşitsizliğin her iki tarafını $2$ ile çarpalım: $a+b < b+c$
- Eşitsizliğin her iki tarafından $b$ çıkaralım: $a < c$
- Soruda bize $a < b$ ve $b < c$ verildiği için, eşitsizliklerin geçişme (transitif) özelliğinden dolayı $a < c$ olduğu kesindir.
- Bu durumda, $a < c$ ifadesi her zaman doğru olduğu için, B seçeneğindeki ifade de her zaman doğrudur. Bu, verilen koşullardan doğrudan ve temel bir çıkarımdır.
- C) $|a| < |b| < |c|$
- Bu ifade her zaman doğru değildir. Mutlak değerler için durum farklı olabilir.
- Örnek verelim: $a = -5$, $b = -2$, $c = 1$.
- Burada $a < b < c$ koşulu sağlanır ($-5 < -2 < 1$).
- Şimdi mutlak değerlerini inceleyelim: $|a| = |-5| = 5$, $|b| = |-2| = 2$, $|c| = |1| = 1$.
- Bu durumda $|a| < |b| < |c|$ ifadesi $5 < 2 < 1$ olur ki bu yanlıştır.
- Dolayısıyla, C seçeneğindeki ifade her zaman doğru değildir.
- D) $a^2 < b^2 < c^2$
- Bu ifade de her zaman doğru değildir. Kare alma işlemi, negatif sayılar için eşitsizliğin yönünü değiştirebilir.
- Örnek verelim: $a = -3$, $b = -2$, $c = 1$.
- Burada $a < b < c$ koşulu sağlanır ($-3 < -2 < 1$).
- Şimdi karelerini inceleyelim: $a^2 = (-3)^2 = 9$, $b^2 = (-2)^2 = 4$, $c^2 = (1)^2 = 1$.
- Bu durumda $a^2 < b^2 < c^2$ ifadesi $9 < 4 < 1$ olur ki bu yanlıştır.
- Dolayısıyla, D seçeneğindeki ifade her zaman doğru değildir.
Yukarıdaki analizler sonucunda, B seçeneğindeki ifadenin her zaman doğru olduğu görülmektedir. A seçeneği de matematiksel olarak her zaman doğru olsa da, B seçeneği verilen koşullardan daha doğrudan ve temel bir çıkarım olduğu için genellikle bu tür sorularda doğru cevap olarak kabul edilir.
Cevap B seçeneğidir.
