Uç uca ekleme yöntemi (Vektör toplama) Test 2

8. İki kuvvetin bileşkesi, kuvvetlerden birine eşit büyüklükte ve bu kuvvetle 60° açı yapmaktadır.
Buna göre diğer kuvvetin büyüklüğü, bileşkenin büyüklüğünün kaç katıdır?

A) 1
B) √2
C) √3
D) 2

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, iki kuvvetin bileşkesi ile ilgili temel vektör bilgimizi ve geometrik yorumlama yeteneğimizi kullanacağız. Adım adım ilerleyerek soruyu kolayca çözeceğiz.

• 1. Verilenleri Anlayalım:

  İki kuvvetimiz var, bunlara $\vec{F_1}$ ve $\vec{F_2}$ diyelim. Bu iki kuvvetin bileşkesi (toplamı) $\vec{R}$ olsun. Yani, $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$.

  Soruda bize iki önemli bilgi verilmiş:

  • Bileşke kuvvetin büyüklüğü, kuvvetlerden birinin büyüklüğüne eşit. Kuvvetlerden birini $\vec{F_1}$ olarak kabul edelim. O halde, $|\vec{R}| = |\vec{F_1}|$. (Eğer $\vec{F_2}$ olarak kabul etseydik de sonuç değişmeyecekti.)
  • Bileşke kuvvet, bu kuvvetle ($ \vec{F_1} $) $60^\circ$ açı yapmaktadır. Yani, $\vec{R}$ ile $\vec{F_1}$ arasındaki açı $60^\circ$'dir.
• 2. Vektör Denklemini Yeniden Düzenleyelim:

  Amacımız diğer kuvvetin, yani $\vec{F_2}$'nin büyüklüğünü bulmak. Vektör denklemini $\vec{F_2}$ için düzenleyelim:

  $\vec{F_2} = \vec{R} - \vec{F_1}$

• 3. Geometrik Yorumlama Yapalım:

  Bu vektör çıkarma işlemini geometrik olarak düşünelim. Bir vektörden diğerini çıkarmak, çıkan vektörün tersini eklemek demektir. Ancak daha kolay bir yol, $\vec{R}$ ve $\vec{F_1}$ vektörlerini aynı başlangıç noktasından çizmek ve $\vec{F_2}$'nin, $\vec{F_1}$'in ucundan $\vec{R}$'nin ucuna giden vektör olduğunu görmektir.

  Bu durumda, $|\vec{F_1}|$, $|\vec{R}|$ ve $|\vec{F_2}|$ kenar uzunluklarına sahip bir üçgen oluşur.

• 4. Üçgenin Özelliklerini Belirleyelim:
  • Oluşan üçgenin kenarları $|\vec{F_1}|$, $|\vec{R}|$ ve $|\vec{F_2}|$ 'dir.
  • Bize verilen bilgiye göre $|\vec{R}| = |\vec{F_1}|$. Bu demektir ki, üçgenin iki kenarı birbirine eşittir. Yani bu bir ikizkenar üçgendir.
  • Yine bize verilen bilgiye göre, $|\vec{R}|$ ile $|\vec{F_1}|$ arasındaki açı $60^\circ$'dir. Bu açı, ikizkenar üçgenin eşit kenarları arasındaki açıdır.
• 5. Üçgenin Türünü Bulalım:

  Bir ikizkenar üçgende, eşit kenarlar arasındaki açı $60^\circ$ ise, diğer iki açının toplamı $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ olur. İkizkenar üçgende taban açıları eşit olduğundan, her bir taban açısı $120^\circ / 2 = 60^\circ$ olacaktır.

  Yani, oluşan üçgenin tüm iç açıları $60^\circ$, $60^\circ$ ve $60^\circ$'dir. Bu da o üçgenin bir eşkenar üçgen olduğu anlamına gelir.

• 6. Sonuca Ulaşalım:

  Eşkenar üçgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir. Bu durumda:

  $|\vec{F_1}| = |\vec{R}| = |\vec{F_2}|$

  Soru bize "diğer kuvvetin büyüklüğü ($|\vec{F_2}|$), bileşkenin büyüklüğünün ($|\vec{R}|$) kaç katıdır?" diye soruyor.

  Bulduğumuz sonuca göre $|\vec{F_2}| = |\vec{R}|$ olduğundan, oran $1$'dir.

Cevap A seçeneğidir.