İki eğri arasında kalan alan nasıl bulunur Test 2

y = x² ve y = 2x eğrileri arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 1/3
B) 4/3
C) 2
D) 8/3

Bu problemde, iki eğri arasında kalan bölgenin alanını bulmamız isteniyor. Bu tür bir alanı bulmak için belirli integral kullanırız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Eğrilerin Kesişim Noktalarını Bulma:

  İki eğri arasında kalan bölgenin sınırlarını belirlemek için öncelikle bu eğrilerin kesiştiği noktaları bulmalıyız. Bunun için eğri denklemlerini birbirine eşitleriz:

  $y = x^2$ ve $y = 2x$

  $x^2 = 2x$

  Denklemi çözmek için tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

  $x^2 - 2x = 0$

  $x(x - 2) = 0$

  Bu denklemden iki çözüm elde ederiz:

  $x = 0$ veya $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

  Bu kesişim noktalarının $x$ değerleri, integralimizin alt ve üst sınırlarını oluşturacaktır. Yani integralimiz $x=0$'dan $x=2$'ye kadar olacaktır.

• 2. Hangi Eğrinin Üstte Olduğunu Belirleme:

  İki eğri arasında kalan alanı bulurken, belirli integralin içine üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemini çıkarırız. Kesişim noktaları arasında, örneğin $x=1$ gibi bir değer seçerek hangi eğrinin daha büyük $y$ değerine sahip olduğunu kontrol edebiliriz:

  Eğri $y = x^2$ için $x=1$ noktasında $y = 1^2 = 1$.

  Eğri $y = 2x$ için $x=1$ noktasında $y = 2(1) = 2$.

  Görüldüğü gibi, $x=1$ noktasında $2x$ eğrisi ($y=2$) $x^2$ eğrisinden ($y=1$) daha yukarıdadır. Bu durum, $x=0$ ile $x=2$ arasındaki tüm bölge için geçerlidir. Dolayısıyla, üstteki eğri $f_{üst}(x) = 2x$ ve alttaki eğri $f_{alt}(x) = x^2$ olacaktır.

• 3. Alan Formülünü Kurma:

  İki eğri arasında kalan alan $A$, aşağıdaki belirli integral formülü ile bulunur:

  $A = \int_{a}^{b} (f_{üst}(x) - f_{alt}(x)) dx$

  Burada $a=0$ ve $b=2$ olup, $f_{üst}(x) = 2x$ ve $f_{alt}(x) = x^2$ değerlerini yerine koyarsak:

  $A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx$

• 4. İntegrali Hesaplama:

  Şimdi bu belirli integrali hesaplayalım. Önce integralin belirsiz halini buluruz:

  $\int (2x - x^2) dx = 2 \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C = x^2 - \frac{x^3}{3} + C$

  Şimdi de belirli integrali hesaplamak için üst sınırdaki değerden alt sınırdaki değeri çıkarırız:

  $A = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$

  $A = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 0^2 - \frac{0^3}{3} \right)$

  $A = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - (0 - 0)$

  Parantez içindeki ifadeyi paydaları eşitleyerek çözelim:

  $A = \left( \frac{12}{3} - \frac{8}{3} \right)$

  $A = \frac{4}{3}$

  Böylece eğriler arasında kalan bölgenin alanını $rac{4}{3}$ birimkare olarak buluruz.

Cevap B seçeneğidir.