y = lnx eğrisi, y = 1 doğrusu ve x = e doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) e - 1
B) e - 2
C) 1
D) 2
Öncelikle, verilen eğri ve doğruları anlayalım:
$y = \ln x$ eğrisi: Doğal logaritma fonksiyonu. Bu eğri $x=1$ iken $y=\ln 1 = 0$ noktasından ve $x=e$ iken $y=\ln e = 1$ noktasından geçer.
$y = 1$ doğrusu: Yatay bir doğrudur.
$x = e$ doğrusu: Dikey bir doğrudur.
Bölgenin sınırlarını belirlemek için eğri ve doğruların kesişim noktalarını bulalım:
$y = \ln x$ ile $y = 1$ doğrusunun kesişimi: $\ln x = 1 \implies x = e$. Kesişim noktası $(e, 1)$'dir.
$y = \ln x$ ile $x = e$ doğrusunun kesişimi: $y = \ln e = 1$. Kesişim noktası $(e, 1)$'dir.
$y = 1$ ile $x = e$ doğrularının kesişimi: Bu doğrudan $(e, 1)$ noktasıdır.
Tüm eğri ve doğrular $(e, 1)$ noktasında kesişmektedir. Bu, bölgenin bu noktada birleştiğini gösterir.
Bölgenin alanını hesaplamak için integral kullanacağız. Bu tür problemlerde $x$'e göre ($dx$) veya $y$'ye göre ($dy$) integral alabiliriz. Hangi yöntemin daha kolay veya daha uygun olduğunu belirleyelim.
Eğer $x$'e göre integral alırsak ($dx$): Üst sınır $y=1$, alt sınır $y=\ln x$ olacaktır. $x$ limitleri $y=\ln x$ eğrisinin başladığı $x=1$ noktasından $x=e$ doğrusuna kadar olacaktır. Bu durumda integral $\int_{1}^{e} (1 - \ln x) dx$ olur. Bu integralin sonucu $e-2$ olarak bulunur.
Eğer $y$'ye göre integral alırsak ($dy$): $y=\ln x$ eğrisini $x$'i $y$ cinsinden ifade ederek $x=e^y$ şeklinde yazmalıyız. Sağ sınır $x=e$ doğrusu, sol sınır $x=e^y$ eğrisi olacaktır. $y$ limitleri ise $y=\ln x$ eğrisinin başladığı $y=0$ noktasından (çünkü $x=1$ iken $y=\ln 1 = 0$) $y=1$ doğrusuna kadar olacaktır. Bu durumda integral $\int_{0}^{1} (e - e^y) dy$ olur.
Verilen seçenekler ve doğru cevabın C (1) olması, $y$'ye göre integral alma yönteminin (yani $y=0$ ekseninin alt sınır olarak kabul edildiği bölgenin) kastedildiğini göstermektedir. Bu, genellikle bir eğri eksenlerden birine değdiğinde (burada $y=\ln x$ eğrisi $x=1$ noktasında $y=0$ eksenine değiyor) o eksenin de bölgenin bir sınırı olarak kabul edildiği durumlarda geçerli bir yaklaşımdır.
Şimdi $y$'ye göre integrali hesaplayalım:
Alan $A = \int_{0}^{1} (e - e^y) dy$
İntegrali alalım: $A = [ey - e^y]_{0}^{1}$
Üst sınırı yerine koyalım: $(e \cdot 1 - e^1) = (e - e) = 0$
Alt sınırı yerine koyalım: $(e \cdot 0 - e^0) = (0 - 1) = -1$
