Dönme kinetik enerjisi nedir (E_dönme = 1/2.I.ω²) Test 2

Eşit kütleli X ve Y cisimlerinden X'in eylemsizlik momenti Y'ninkinin 4 katıdır. Y cismi 2 rad/s açısal hızla döndüğüne göre, X cismi hangi açısal hızla dönerse dönme kinetik enerjileri eşit olur?

A) 0,5 rad/s
B) 1 rad/s
C) 2 rad/s
D) 4 rad/s

Bu soruda, dönen cisimlerin kinetik enerjileriyle ilgili önemli bir konuyu ele alacağız: Dönme Kinetik Enerjisi. İki farklı cismin, X ve Y'nin, eylemsizlik momentleri ve açısal hızları arasındaki ilişkiyi kullanarak, enerjilerini eşitlemeye çalışacağız. Adım adım ilerleyelim ve bu problemi birlikte çözelim!

• 1. Dönme Kinetik Enerjisi Formülünü Hatırlayalım:

  Bir cismin dönme kinetik enerjisi ($K$) aşağıdaki formülle hesaplanır:

  $K = \frac{1}{2} I \omega^2$

  Burada $I$ cismin eylemsizlik momenti (dönmeye karşı gösterdiği direnç) ve $\omega$ cismin açısal hızıdır.

• 2. Verilen Bilgileri Not Edelim:

  Soruda bize şu bilgiler verilmiş:

  X cisminin eylemsizlik momenti, Y cisminin eylemsizlik momentinin 4 katıdır: $I_X = 4I_Y$

  Y cisminin açısal hızı: $\omega_Y = 2 \text{ rad/s}$

  X ve Y cisimlerinin dönme kinetik enerjileri eşit olmalıdır: $K_X = K_Y$

  Aradığımız şey: X cisminin hangi açısal hızla ($\omega_X$) dönmesi gerektiğidir.

• 3. Y Cismine Ait Dönme Kinetik Enerjisini Bulalım:

  Y cismi için verilen değerleri dönme kinetik enerjisi formülünde yerine koyalım:

  $K_Y = \frac{1}{2} I_Y \omega_Y^2$

  $\omega_Y = 2 \text{ rad/s}$ olduğu için:

  $K_Y = \frac{1}{2} I_Y (2)^2$

  $K_Y = \frac{1}{2} I_Y (4)$

  $K_Y = 2 I_Y$

• 4. X Cismine Ait Dönme Kinetik Enerjisini Yazalım:

  X cismi için dönme kinetik enerjisi formülünü yazalım:

  $K_X = \frac{1}{2} I_X \omega_X^2$

  Biliyoruz ki $I_X = 4I_Y$. Bu bilgiyi formülde yerine koyalım:

  $K_X = \frac{1}{2} (4I_Y) \omega_X^2$

  $K_X = 2 I_Y \omega_X^2$

• 5. Kinetik Enerjileri Eşitleyelim ve $\omega_X$'i Bulalım:

  Sorunun bizden istediği gibi, X ve Y cisimlerinin dönme kinetik enerjilerini eşitleyelim ($K_X = K_Y$):

  $2 I_Y \omega_X^2 = 2 I_Y$

  Eşitliğin her iki tarafındaki $2 I_Y$ terimlerini sadeleştirebiliriz:

  $\omega_X^2 = 1$

  Şimdi $\omega_X$'i bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:

  $\omega_X = \sqrt{1}$

  $\omega_X = 1 \text{ rad/s}$

Buna göre, X cismi $1 \text{ rad/s}$ açısal hızla dönerse, dönme kinetik enerjileri eşit olur.

Cevap B seçeneğidir.