Kütlesi m, yarıçapı r olan bir diskin eylemsizlik momenti I = ½mr²'dir. Bu disk 2ω açısal hızla dönerken dönme kinetik enerjisi E'dir. Aynı disk ω açısal hızla döndüğünde dönme kinetik enerjisi ne olur?
A) E/4Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir diskin açısal hızı değiştiğinde dönme kinetik enerjisinin nasıl değiştiğini inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları kolayca nasıl çözebileceğimizi görelim.
Bir cismin dönme kinetik enerjisi ($K_{dönme}$), eylemsizlik momenti ($I$) ve açısal hızının ($\omega$) karesi ile doğru orantılıdır. Formülü şöyledir:
$K_{dönme} = \frac{1}{2}I\omega^2$
Burada $I$, diskin kütlesine ve şekline bağlı olan bir sabittir ve disk aynı kaldığı sürece değeri değişmez. Soruda $I = \frac{1}{2}mr^2$ olarak verilmiş olsa da, bu değeri doğrudan kullanmamıza gerek kalmayacak, çünkü $I$ her iki durumda da aynı kalacaktır.
Soruda disk $2\omega$ açısal hızıyla dönerken dönme kinetik enerjisinin $E$ olduğu belirtilmiştir. Bu bilgiyi formülde yerine koyalım:
$E = \frac{1}{2}I(2\omega)^2$
Açısal hızın karesini alırken paranteze dikkat edelim:
$E = \frac{1}{2}I(4\omega^2)$
Bu ifadeyi daha düzenli yazarsak:
$E = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}I\omega^2\right)$
Bu bizim ilk durumdaki enerji ifademizdir.
Şimdi, disk $\omega$ açısal hızıyla döndüğünde dönme kinetik enerjisinin ne olacağını bulmak istiyoruz. Bu yeni enerjiye $E'$ diyelim ve formülü tekrar kullanalım:
$E' = \frac{1}{2}I(\omega)^2$
$E' = \frac{1}{2}I\omega^2$
Bu da ikinci durumdaki enerji ifademizdir.
Adım 2'deki ifademiz: $E = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}I\omega^2\right)$
Adım 3'teki ifademiz: $E' = \frac{1}{2}I\omega^2$
Gördüğümüz gibi, $E'$ ifadesi, $E$ ifadesinin içindeki parantezli kısımla tamamen aynıdır. Yani, $\left(\frac{1}{2}I\omega^2\right)$ yerine $E'$ yazabiliriz.
$E = 4 \cdot E'$
Şimdi $E'$ değerini bulmak için eşitliği yeniden düzenleyelim:
$E' = \frac{E}{4}$
Bu, disk $\omega$ açısal hızıyla döndüğünde dönme kinetik enerjisinin, ilk durumdaki enerjinin dörtte biri olacağı anlamına gelir.
Cevap A seçeneğidir.
