Aynı maddeden yapılmış, içi dolu X ve Y silindirlerinin yarıçapları sırasıyla r ve 2r'dir. Her iki silindir de merkez eksenleri etrafında aynı açısal hızla döndüğüne göre, Y'nin dönme kinetik enerjisinin X'inkine oranı kaçtır? (Katı silindir için I = ½mr²)
A) 4
B) 8
C) 16
D) 32
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, aynı maddeden yapılmış, farklı yarıçaplara sahip iki silindirin dönme kinetik enerjileri arasındaki oranı bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu çözelim.
-
Adım 1: Verilen Bilgileri ve Temel Formülleri Belirleyelim.
- Silindir X'in yarıçapı: $r_X = r$
- Silindir Y'nin yarıçapı: $r_Y = 2r$
- Her iki silindirin açısal hızları eşit: $\omega_X = \omega_Y = \omega$
- Aynı maddeden yapılmış olmaları, yoğunluklarının eşit olduğu anlamına gelir: $\rho_X = \rho_Y = \rho$
- Katı silindir için eylemsizlik momenti formülü: $I = \frac{1}{2}mr^2$
- Dönme kinetik enerjisi formülü: $E_k = \frac{1}{2}I\omega^2$
- Bir silindirin hacmi: $V = \pi r^2 h$
- Kütle: $m = \rho V = \rho \pi r^2 h$
-
Adım 2: Silindirlerin Kütlelerini Belirleyelim.
- Soruda silindirlerin yükseklikleri (h) doğrudan verilmemiştir. Ancak, bu tür problemlerde, farklı boyutlardaki aynı tip cisimler genellikle "geometrik olarak benzer" kabul edilir. Bu durumda, yarıçaplar arasındaki oran ne ise, yükseklikler arasındaki oran da aynıdır.
- Yani, $r_Y = 2r_X$ olduğundan, $h_Y = 2h_X$ kabul edeceğiz.
- Şimdi kütleleri hesaplayalım:
- Silindir X'in kütlesi: $m_X = \rho V_X = \rho \pi r_X^2 h_X = \rho \pi r^2 h_X$
- Silindir Y'nin kütlesi: $m_Y = \rho V_Y = \rho \pi r_Y^2 h_Y = \rho \pi (2r)^2 (2h_X)$
- Bu ifadeyi düzenlersek: $m_Y = \rho \pi (4r^2) (2h_X) = 8 \rho \pi r^2 h_X$
- Buradan, $m_Y = 8m_X$ olduğunu görürüz.
-
Adım 3: Silindirlerin Eylemsizlik Momentlerini (I) Hesaplayalım.
- Eylemsizlik momenti formülü $I = \frac{1}{2}mr^2$ idi.
- Silindir X için eylemsizlik momenti: $I_X = \frac{1}{2}m_X r_X^2 = \frac{1}{2}m_X r^2$
- Silindir Y için eylemsizlik momenti: $I_Y = \frac{1}{2}m_Y r_Y^2$
- $m_Y = 8m_X$ ve $r_Y = 2r$ değerlerini $I_Y$ formülünde yerine koyalım:
- $I_Y = \frac{1}{2}(8m_X)(2r)^2 = \frac{1}{2}(8m_X)(4r^2)$
- Bu ifadeyi düzenlersek: $I_Y = 32 \left(\frac{1}{2}m_X r^2\right)$
- Buradan, $I_Y = 32 I_X$ olduğunu buluruz.
-
Adım 4: Silindirlerin Dönme Kinetik Enerjilerini (E_k) Belirleyelim.
- Dönme kinetik enerjisi formülü $E_k = \frac{1}{2}I\omega^2$ idi.
- Silindir X'in dönme kinetik enerjisi: $E_{k,X} = \frac{1}{2}I_X \omega^2$
- Silindir Y'nin dönme kinetik enerjisi: $E_{k,Y} = \frac{1}{2}I_Y \omega^2$
-
Adım 5: Y'nin Dönme Kinetik Enerjisinin X'inkine Oranını Bulalım.
- Oranı hesaplamak için $E_{k,Y}$'yi $E_{k,X}$'e bölelim:
- $\frac{E_{k,Y}}{E_{k,X}} = \frac{\frac{1}{2}I_Y \omega^2}{\frac{1}{2}I_X \omega^2}$
- Eşit olan $\frac{1}{2}$ ve $\omega^2$ terimleri sadeleşir:
- $\frac{E_{k,Y}}{E_{k,X}} = \frac{I_Y}{I_X}$
- Adım 3'te bulduğumuz $I_Y = 32 I_X$ ilişkisini bu oranda yerine koyalım:
- $\frac{E_{k,Y}}{E_{k,X}} = \frac{32 I_X}{I_X} = 32$
Buna göre, Y silindirinin dönme kinetik enerjisinin X silindirinin dönme kinetik enerjisine oranı 32'dir.
Cevap D seçeneğidir.
