9. Sınıf Tales Teoremi Nedir? Test 2

Bir inşaat mühendisi, nehir üzerine köprü yapmak için Tales Teoremi'nden yararlanıyor. Nehrin bir kenarında 8 metre ve 12 metre aralıklarla işaretlediği noktalardan, karşı kıyıdaki bir direğe doğrusal hatlar çekiyor. Paralel hatlar oluşturduğunda, karşı kıyıda bu hatların direğe uzaklıkları oranı kaç olur?

A) 1/2
B) 2/3
C) 3/2
D) 2

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu problemde bir inşaat mühendisinin nehir genişliğini ölçmek için Tales Teoremi'ni nasıl kullandığını görüyoruz. Tales Teoremi, geometri ve mühendislikte sıkça kullanılan temel bir orantı prensibidir. Şimdi adım adım bu problemi çözelim:

• 1. Problemi Görselleştirme ve Tanımlama:

  Öncelikle durumu zihnimizde canlandıralım. Bir direk (köprü yapılacak yerin referans noktası) ve nehrin bir kenarı var. Mühendis, direkten nehrin bir kenarına doğru bir çizgi üzerinde iki nokta işaretliyor. Bu noktalar direğe $8$ metre ve $12$ metre uzaklıktadır. Bu noktalardan karşı kıyıya doğru doğrusal hatlar çekiliyor ve bu hatlar birbirine paralel oluyor. Bu durum, Tales Teoremi'nin temel prensibi olan benzer üçgenler oluşturur.

  Şekli şu şekilde düşünebiliriz:

  • Direk, bir üçgenin tepe noktasıdır (örneğin $D$ noktası).
  • Direkten nehrin bir kenarına doğru uzanan bir doğru parçası üzerinde iki nokta işaretleniyor. Bu noktalar $P_1$ ve $P_2$ olsun.
  • Direğe olan uzaklıkları $DP_1 = 8$ metre ve $DP_2 = 12$ metre olarak verilmiş.
  • Bu $P_1$ ve $P_2$ noktalarından karşı kıyıya doğru çekilen hatlar (örneğin $P_1Q_1$ ve $P_2Q_2$) birbirine paraleldir. Bu hatlar, direkten karşı kıyıya uzanan başka bir doğru parçasını $Q_1$ ve $Q_2$ noktalarında keser.
• 2. Tales Teoremi'ni Anlama:

  Tales Teoremi (veya Temel Orantı Teoremi), bir üçgenin bir kenarına paralel olarak çizilen bir doğrunun, diğer iki kenarı orantılı olarak böldüğünü belirtir. Daha genel olarak, eğer bir noktadan çıkan iki ışın, iki paralel doğru tarafından kesilirse, bu ışınlar üzerinde oluşan parçaların oranları birbirine eşittir. Yani, $\triangle DP_1Q_1$ ve $\triangle DP_2Q_2$ benzer üçgenlerdir.

• 3. Verileri Tales Teoremi'ne Uygulama:

  Benzer üçgenler prensibine göre, kenarların oranları birbirine eşittir:

  $ \frac{DP_1}{DP_2} = \frac{DQ_1}{DQ_2} $

  Burada:

  • $DP_1 = 8$ metre (direkten birinci noktaya olan uzaklık)
  • $DP_2 = 12$ metre (direkten ikinci noktaya olan uzaklık)
  • $DQ_1$ ve $DQ_2$, karşı kıyıda oluşan hatların direğe olan uzaklıklarıdır ve bizden bu uzaklıkların oranını ($DQ_1/DQ_2$) bulmamız isteniyor.
• 4. Oranı Hesaplama:

  Verilen değerleri formülde yerine koyalım:

  $ \frac{8}{12} = \frac{DQ_1}{DQ_2} $

  Bu oranı sadeleştirelim:

  $ \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3} $

  Yani, karşı kıyıda bu hatların direğe uzaklıkları oranı $2/3$ olur.

Cevap B seçeneğidir.