Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, üçgeni iki eşit alanlı üçgene ayırır.
Bu ifadeye göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Kenarortay hipotenüsü iki eşit parçaya böler
B) Kenarortay dik kenarlardan birine diktir
C) Kenarortayın uzunluğu dik kenarlardan birine eşittir
D) Kenarortay üçgenin ağırlık merkezinden geçer
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın önemli bir özelliğinden bahsediliyor ve bu özelliğe dayanarak hangi seçeneğin doğru olduğunu bulmamız isteniyor. Adım adım inceleyelim:
- Soruda Verilen İfadeyi Anlayalım:
Soruda deniyor ki: "Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, üçgeni iki eşit alanlı üçgene ayırır."
Bu ifadeyi bir üçgen üzerinde canlandıralım:
- Bir $ABC$ dik üçgenimiz olsun. Dik açı $B$ köşesinde bulunsun.
- Bu durumda $AC$ kenarı hipotenüstür.
- Hipotenüse ait kenarortay, $B$ köşesinden $AC$ kenarının orta noktasına çizilen doğru parçasıdır. Bu orta noktaya $M$ diyelim. Yani $BM$ doğru parçası kenarortaydır.
- Verilen ifadeye göre, bu $BM$ kenarortayı, $ABC$ üçgenini iki yeni üçgene ayırır: $\triangle ABM$ ve $\triangle CBM$. Ve bu iki üçgenin alanları birbirine eşittir: Alan($\triangle ABM$) = Alan($\triangle CBM$).
- Seçenekleri Değerlendirelim:
- A) Kenarortay hipotenüsü iki eşit parçaya böler
- Bir kenarortayın tanımı gereği, bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır. Yani, $BM$ kenarortayı $AC$ hipotenüsünü $M$ noktasında kesiyorsa, $M$ noktası $AC$'nin orta noktasıdır.
- $M$ noktası $AC$'nin orta noktası olduğu için, $AM$ uzunluğu $MC$ uzunluğuna eşittir ($AM = MC$). Bu da demektir ki, kenarortay hipotenüsü iki eşit parçaya böler.
- Ayrıca, soruda verilen alan eşitliği bilgisini de kullanalım: Alan($\triangle ABM$) = Alan($\triangle CBM$).
- Bu iki üçgenin ($ABM$ ve $CBM$) $B$ köşesinden $AC$ tabanına indirilen yükseklikleri aynıdır (bu yükseklik, $B$ köşesinin $AC$ doğrusuna olan uzaklığıdır).
- Eğer iki üçgenin yükseklikleri aynıysa ve alanları da eşitse, o zaman taban uzunlukları da eşit olmak zorundadır. Yani, $AM = MC$.
- Bu durumda, $M$ noktası $AC$ hipotenüsünün orta noktasıdır. Bu da A seçeneğinin doğru olduğunu gösterir.
- B) Kenarortay dik kenarlardan birine diktir
- Genel bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, dik kenarlardan birine dik olmak zorunda değildir. Bu sadece çok özel durumlarda (örneğin, üçgenin ikizkenar dik üçgen olması gibi) veya üçgenin dejenere olması durumunda geçerli olabilir. Bu ifade genellikle yanlıştır.
- C) Kenarortayın uzunluğu dik kenarlardan birine eşittir
- Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir. Yani $BM = AM = MC$.
- Kenarortayın uzunluğunun dik kenarlardan birine eşit olması için, $BM = AB$ veya $BM = BC$ olması gerekir. Bu da genellikle doğru değildir. Örneğin, $BM = \frac{1}{2} AC$. Eğer $BM = AB$ ise, $\frac{1}{2} AC = AB$ olur ki bu da her zaman doğru değildir.
- D) Kenarortay üçgenin ağırlık merkezinden geçer
- Bu ifade, bir kenarortayın tanımı gereği her zaman doğrudur. Üçgenin ağırlık merkezi, tüm kenarortayların kesişim noktasıdır. Dolayısıyla, her kenarortay ağırlık merkezinden geçer.
- Ancak soru, "Bu ifadeye göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?" diye soruyor. Yani, verilen alan eşitliği bilgisinden doğrudan çıkarılabilecek veya bu bilginin bir sonucu olan seçeneği arıyoruz. A seçeneği, alan eşitliği bilgisinden doğrudan $AM=MC$ sonucunu çıkararak kenarortayın tanımını doğrular niteliktedir. D seçeneği ise kenarortayın genel bir özelliğidir ve verilen alan eşitliği ifadesinden doğrudan bir çıkarım değildir.
Sonuç olarak, verilen "hipotenüse ait kenarortay, üçgeni iki eşit alanlı üçgene ayırır" ifadesi, kenarortayın tanımıyla birleştiğinde veya alan eşitliğinden doğrudan çıkarım yapıldığında, kenarortayın hipotenüsü iki eşit parçaya böldüğü sonucuna ulaşırız.
Cevap A seçeneğidir.
