Bu problemde, bir torbadaki 11 madeni paradan birinin sahte (daha hafif) olduğunu biliyoruz ve bir terazi kullanarak bu sahte parayı en kötü durumda kaç tartma ile bulabileceğimizi bulmamız isteniyor. Hadi bu problemi adım adım çözelim!
- Problemi Anlayalım:
- Toplam 11 madeni para var.
- 10 tanesi gerçek (11 gram), 1 tanesi sahte (10 gram).
- Sahte para gerçek paradan daha hafiftir. Bu bilgi çok önemlidir!
- Amacımız, en kötü durumda (yani şansımız yaver gitmediğinde) sahte parayı bulmak için gereken minimum tartma sayısını bulmaktır.
- Terazi, iki kefeye konulan paraların ağırlıklarını karşılaştırır ve üç olası sonuç verir: sol kefe hafif, sağ kefe hafif veya kefeler dengede.
- Tartma Stratejisi:
- Terazi problemlerinde en verimli strateji, paraları mümkün olduğunca eşit üç gruba ayırmaktır: sol kefe, sağ kefe ve tartılmayanlar. Her tartma, şüpheli para sayısını yaklaşık olarak üçte birine düşürmeyi hedefler.
- Bir tartma ile en fazla 3 farklı durumu ayırt edebiliriz. $N$ tartma ile en fazla $3^N$ farklı durumu ayırt edebiliriz. Bizim 11 paramız olduğuna göre, $3^N \ge 11$ olmalıdır:
- $3^1 = 3$ (11 para için yeterli değil)
- $3^2 = 9$ (11 para için yeterli değil)
- $3^3 = 27$ (11 para için yeterli)
- Bu bize en az 3 tartmaya ihtiyacımız olabileceğini gösteriyor. Şimdi bunu uygulamalı olarak görelim.
- 1. Tartma:
- 11 parayı üç gruba ayıralım: Sol kefeye 4 para, Sağ kefeye 4 para, Dışarıda kalan 3 para.
- Şimdi 4 parayı diğer 4 paraya karşı tartalım:
- Durum 1: Sol kefe daha hafif gelirse. Sahte para sol kefedeki 4 paranın içindedir. Diğer 7 para (sağ kefe ve dışarıdakiler) gerçektir. Şüpheli para sayısı: 4.
- Durum 2: Sağ kefe daha hafif gelirse. Sahte para sağ kefedeki 4 paranın içindedir. Diğer 7 para (sol kefe ve dışarıdakiler) gerçektir. Şüpheli para sayısı: 4.
- Durum 3: Kefeler dengede kalırsa. Sahte para tartılmayan 3 paranın içindedir. Diğer 8 para (iki kefedekiler) gerçektir. Şüpheli para sayısı: 3.
- En kötü durumda, şüpheli para sayısı 4'tür (Durum 1 veya Durum 2).
- 2. Tartma:
- Şimdi en kötü durumu ele alalım: 4 şüpheli paramız var. Bu paraları $P_1, P_2, P_3, P_4$ olarak adlandıralım. Biliyoruz ki bunlardan biri sahte ve daha hafif.
- Bu 4 parayı tekrar üç gruba ayıralım: Sol kefeye 2 para ($P_1, P_2$), Sağ kefeye 2 para ($P_3, P_4$), Dışarıda kalan 0 para.
- Şimdi 2 parayı diğer 2 paraya karşı tartalım:
- Durum 1: Sol kefe daha hafif gelirse. Sahte para $P_1$ veya $P_2$'dir. Şüpheli para sayısı: 2.
- Durum 2: Sağ kefe daha hafif gelirse. Sahte para $P_3$ veya $P_4$'tür. Şüpheli para sayısı: 2.
- Durum 3: Kefeler dengede kalırsa. Bu durum mümkün değildir. Çünkü sahte paranın bu 4 para içinde olduğu kesindir ve sahte para daha hafif olduğu için kefelerden biri mutlaka hafif gelecektir.
- En kötü durumda, şüpheli para sayısı 2'dir.
- (Eğer 1. tartmada 3 şüpheli paramız kalsaydı, 2. tartmada 1'i 1'e karşı tartıp dışarıda 1 bırakarak sahte parayı bulabilirdik. Örneğin $P_1$ vs $P_2$. Eğer $P_1$ hafifse $P_1$ sahte, $P_2$ hafifse $P_2$ sahte, dengede kalırsa $P_3$ sahte olurdu. Yani 2. tartmada sahte bulunurdu. Ancak biz en kötü durumu aradığımız için 4 şüpheli para senaryosu üzerinden devam ediyoruz.)
- 3. Tartma:
- Şimdi en kötü durumu ele alalım: 2 şüpheli paramız var. Bu paraları $P_1, P_2$ olarak adlandıralım. Biliyoruz ki bunlardan biri sahte ve daha hafif.
- Bu 2 parayı tartalım: Sol kefeye 1 para ($P_1$), Sağ kefeye 1 para ($P_2$).
- Şimdi $P_1$'i $P_2$'ye karşı tartalım:
- Durum 1: Sol kefe daha hafif gelirse. Sahte para $P_1$'dir. Sahte parayı bulduk!
- Durum 2: Sağ kefe daha hafif gelirse. Sahte para $P_2$'dir. Sahte parayı bulduk!
- Durum 3: Kefeler dengede kalırsa. Bu durum mümkün değildir. Çünkü bu 2 paradan biri kesinlikle sahtedir ve daha hafiftir. Kefelerden biri mutlaka hafif gelecektir.
- Sonuç:
- Gördüğümüz gibi, en kötü durumda bile sahte parayı bulmak için 3 tartma yapmamız yeterlidir.
Cevap B seçeneğidir.
