10. G = {x | 3 < x < 4, x ∈ Z} kümesi için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?
A) Sonsuz elemanlıdır
B) Boş kümedir
C) Eleman sayısı 2'dir
D) {3,4} kümesine eşittir
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle birlikte, küme kavramıyla ilgili önemli bir soruyu adım adım çözeceğiz. Soruyu dikkatlice inceleyelim ve doğru cevaba ulaşmak için mantıksal bir yol izleyelim.
- Adım 1: Kümeyi Anlamak
- Bize verilen küme $G = \{x | 3 < x < 4, x \in Z\}$ şeklindedir. Bu ifadeyi dikkatlice okuyalım ve ne anlama geldiğini çözelim.
- Küme gösterimindeki ilk kısım olan $x$ bize kümenin elemanlarının $x$ ile temsil edildiğini söyler.
- Dikey çizgi "|" "öyle ki" anlamına gelir. Yani, $G$ kümesi, $x$ öyle ki... şeklinde devam eden özelliklere sahip elemanlardan oluşur.
- İkinci kısım olan $3 < x < 4$ ifadesi, $x$ sayısının 3'ten büyük ve 4'ten küçük olması gerektiğini belirtir.
- Üçüncü kısım olan $x \in Z$ ifadesi ise, $x$ sayısının bir tam sayı olması gerektiğini belirtir. Hatırlayalım, tam sayılar ($Z$) $\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \dots$ gibi sayılardır.
- Adım 2: Koşulları Sağlayan Elemanları Aramak
- Şimdi, $G$ kümesinin elemanlarını bulmak için her iki koşulu da aynı anda sağlayan $x$ sayılarını düşünelim.
- Aradığımız $x$ sayısı hem 3'ten büyük hem de 4'ten küçük olmalı.
- Aynı zamanda bu $x$ sayısı bir tam sayı olmalı.
- Sayı doğrusunu gözünüzde canlandırın veya bir kağıda çizin. 3 ve 4 sayılarını işaretleyin.
- 3'ten büyük ve 4'ten küçük olan tam sayılar nelerdir?
- 3'ten hemen sonra gelen tam sayı 4'tür. Ancak $x$'in 4'ten küçük olması gerekiyor. Bu durumda 4 olamaz.
- 4'ten hemen önce gelen tam sayı 3'tür. Ancak $x$'in 3'ten büyük olması gerekiyor. Bu durumda 3 olamaz.
- Gördüğümüz gibi, 3 ile 4 arasında hiçbir tam sayı bulunmamaktadır.
- Adım 3: Kümenin Durumunu Belirlemek
- Yukarıdaki incelemeler sonucunda, $3 < x < 4$ ve $x \in Z$ koşullarını aynı anda sağlayan hiçbir $x$ sayısı olmadığını bulduk.
- Elemanı olmayan kümelere **boş küme** denir. Boş küme $\emptyset$ veya $\{\}$ sembolleriyle gösterilir.
- Dolayısıyla, $G$ kümesi bir boş kümedir.
- Adım 4: Seçenekleri Değerlendirmek
- Şimdi bulduğumuz bu bilgi ışığında seçenekleri inceleyelim:
- A) Sonsuz elemanlıdır: Hayır, $G$ kümesinin hiç elemanı yoktur, sonsuz elemanlı olması mümkün değildir.
- B) Boş kümedir: Evet, $G$ kümesinin hiçbir elemanı olmadığı için boş kümedir. Bu ifade doğrudur.
- C) Eleman sayısı 2'dir: Hayır, $G$ kümesinin eleman sayısı 0'dır.
- D) $\{3,4\}$ kümesine eşittir: Hayır, $G$ kümesi 3 ve 4 sayılarını içermez (çünkü $3 < x < 4$ koşulu 3 ve 4'ü dışarıda bırakır) ve zaten boş kümedir.
Cevap B seçeneğidir.
