Önermenin değili nedir Test 2

2. p: "∃x ∈ Z, x² = 4" önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir?

A) ∀x ∈ Z, x² ≠ 4
B) ∃x ∈ Z, x² ≠ 4
C) ∀x ∈ Z, x² = 4
D) ∃x ∈ Z, x² = 2

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir niceleyici içeren önermenin (nicelenmiş önerme) değilini (olumsuzunu) bulmayı öğreneceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• Öncelikle verilen önermeyi inceleyelim:

  $p: "\exists x \in Z, x^2 = 4"$

  Bu önerme, "Bazı tam sayılar ($x \in Z$) vardır ki, bu sayıların karesi 4'e eşittir ($x^2 = 4$)" anlamına gelir. Buradaki "$\exists$" sembolü "bazı", "en az bir" veya "vardır ki" anlamlarına gelen "varlıksal niceleyici"dir.

• Bir niceleyici içeren önermenin değilini alırken iki temel kuralı uygulamamız gerekir:

  • Niceleyicinin Değili:

    Varlıksal niceleyicinin ($\exists$) değili, evrensel niceleyici ($\forall$) olur. Yani, "bazı"nın değili "her" veya "tüm" olur.

    $\neg (\exists x)$ ifadesi $\forall x$ olur.

  • Önermenin (Yüklemin) Değili:

    Niceleyiciden sonra gelen önermenin (yüklemin) de değilini alırız.

    Buradaki önerme "$x^2 = 4$" ifadesidir. Bu ifadenin değili "$x^2 \neq 4$" olur. Yani, "eşittir"in değili "eşit değildir"dir.

• Şimdi bu kuralları $p$ önermesine uygulayalım:

  $p: "\exists x \in Z, x^2 = 4"$

  1. Niceleyicinin değilini alalım: $\exists x \in Z$ ifadesi $\forall x \in Z$ olur.

  2. Önermenin değilini alalım: $x^2 = 4$ ifadesi $x^2 \neq 4$ olur.

• Bu iki değişikliği birleştirdiğimizde, $p$ önermesinin değili ($\neg p$) şu şekilde bulunur:

  $\neg p: "\forall x \in Z, x^2 \neq 4"$

  Bu ifade, "Her tam sayı ($x \in Z$) için, bu sayıların karesi 4'e eşit değildir ($x^2 \neq 4$)" anlamına gelir.

• Şimdi seçenekleri kontrol edelim:

  • A) $\forall x \in Z, x^2 \neq 4$ - Bu, bulduğumuz sonuçla tamamen aynıdır.
  • B) $\exists x \in Z, x^2 \neq 4$ - Niceleyici yanlış.
  • C) $\forall x \in Z, x^2 = 4$ - Önermenin değili yanlış.
  • D) $\exists x \in Z, x^2 = 2$ - Hem niceleyici yanlış hem de önermenin değili yanlış.

Cevap A seçeneğidir.