Doğrudan ispat nedir Test 2

"Ardışık iki tam sayının karelerinin farkının tek sayı olduğunu" doğrudan ispatla göstermek için n tam sayı olmak üzere aşağıdaki ifadelerden hangisi kullanılmalıdır?

A) (n+1)² - n² = n² + 2n + 1 - n² = 2n + 1
B) (n+1)² - n² = (n+1-n)(n+1+n) = 1(2n+1)
C) (n+1)² - n² = n² + 1 - n² = 1
D) (n+1)² - n² = 2n² + 2n + 1

Bu soruda, ardışık iki tam sayının karelerinin farkının neden her zaman tek sayı olduğunu doğrudan ispatlamamız isteniyor. Gelin, bu ispatı adım adım inceleyelim.

• 1. Ardışık Tam Sayıları Tanımlayalım:

  Ardışık tam sayılar, birbirini takip eden sayılardır. Eğer bir tam sayıya $n$ dersek, ondan hemen sonra gelen ardışık tam sayı $n+1$ olacaktır. (Örneğin, $n=5$ ise $n+1=6$; $n=-3$ ise $n+1=-2$).

• 2. Karelerinin Farkını İfade Edelim:

  Bu iki ardışık tam sayının karelerinin farkını matematiksel olarak şöyle yazarız: $(n+1)^2 - n^2$.

• 3. Cebirsel Özdeşlikleri Hatırlayalım:

  Bu ifadeyi sadeleştirmek için çok önemli bir cebirsel özdeşliği kullanabiliriz: İki Kare Farkı Özdeşliği. Bu özdeşlik der ki: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

• 4. Özdeşliği İfademize Uygulayalım:

  Bizim ifademizde $a = (n+1)$ ve $b = n$'dir. Şimdi özdeşliği uygulayalım:

  $(n+1)^2 - n^2 = ((n+1) - n)((n+1) + n)$

• 5. İfadeyi Sadeleştirelim:

  Şimdi parantez içindeki terimleri ayrı ayrı sadeleştirelim:

  • Birinci parantez $(n+1) - n$ işlemini yaptığımızda $1$ elde ederiz.
  • İkinci parantez $(n+1) + n$ işlemini yaptığımızda $2n + 1$ elde ederiz.

  Bu durumda ifademiz şöyle olur: $1 \cdot (2n+1) = 2n+1$.

• 6. Sonucun Tek Sayı Olduğunu Gösterelim:

  Elde ettiğimiz sonuç $2n+1$'dir. Herhangi bir tam sayı $n$ için, $2n$ ifadesi her zaman çift bir sayıdır (çünkü 2 ile çarpılıyor). Çift bir sayıya 1 eklediğimizde ise sonuç her zaman tek bir sayı olur. Örneğin, $n=3$ için $2(3)+1 = 7$ (tek); $n=-2$ için $2(-2)+1 = -3$ (tek).

  Böylece, ardışık iki tam sayının karelerinin farkının her zaman tek sayı olduğunu doğrudan ispatlamış olduk.

• 7. Seçenekleri İnceleyelim:

  Şimdi verilen seçeneklere bakalım ve hangi seçeneğin bizim yaptığımız adımları en doğrudan ve açıklayıcı şekilde gösterdiğini bulalım:

  • A) $(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$: Bu seçenek de doğru sonuca ulaşıyor ancak $(n+1)^2$ ifadesini açarak yapıyor. Soru "doğrudan ispat" için hangi ifadenin kullanılacağını sorduğunda, genellikle daha temel bir özdeşliği kullanan yol tercih edilir.
  • B) $(n+1)^2 - n^2 = (n+1-n)(n+1+n) = 1(2n+1)$: Bu seçenek, iki kare farkı özdeşliğini doğrudan uygulayarak sadeleştirme adımlarını açıkça gösteriyor ve $2n+1$ sonucuna ulaşıyor. Bu, cebirsel olarak en zarif ve doğrudan ispat yöntemlerinden biridir.
  • C) $(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 1 - n^2 = 1$: Bu seçenek yanlıştır çünkü $(n+1)^2$ ifadesinin açılımı $n^2+2n+1$'dir, $n^2+1$ değildir.
  • D) $(n+1)^2 - n^2 = 2n^2 + 2n + 1$: Bu seçenek de yanlıştır.

Görüldüğü gibi, B seçeneği iki kare farkı özdeşliğini kullanarak ifadenin sadeleşme adımlarını en net ve doğrudan şekilde göstermektedir.

Cevap B seçeneğidir.