Bir yarışmada jüri üyeleri A ve B, yarışmacılar hakkında p ve q önermelerini değerlendiriyor. Jüri üyelerinin oyları şu kurala göre sonuç belirliyor:
- Sonuç, \( p \veebar q \) önermesinin doğruluk değeri ile belirleniyor.
Buna göre, hangi durumda yarışmacı elenir?
Bu soruyu çözmek için öncelikle mantıkta kullanılan "ya da" (exclusive OR - $\veebar$) bağlacının ne anlama geldiğini ve doğruluk tablosunu hatırlamamız gerekiyor. Ardından, jüri üyelerinin oylarını bu bağlaçla ilişkilendirip hangi durumda yarışmacının eleneceğini bulacağız.
Jüri üyeleri A ve B'nin oylarını $p$ ve $q$ önermeleri ile temsil edelim. Mantıkta, "Evet" oyu genellikle "Doğru" (1) değeri ile, "Hayır" oyu ise "Yanlış" (0) değeri ile gösterilir. Buna göre:
Jüri üyesi "Evet" derse, önermenin doğruluk değeri $1$ olur.
Jüri üyesi "Hayır" derse, önermenin doğruluk değeri $0$ olur.
$p \veebar q$ (p ya da q) önermesi, $p$ ve $q$ önermelerinden sadece birinin doğru olması durumunda doğru (1) olur. Eğer $p$ ve $q$ önermelerinin her ikisi de doğruysa (1,1) veya her ikisi de yanlışsa (0,0), o zaman $p \veebar q$ önermesi yanlış (0) olur.
Bu bağlacın doğruluk tablosu şöyledir:
| $p$ | $q$ | $p \veebar q$ |
|---|---|---|
| 1 (Evet) | 1 (Evet) | 0 (Yanlış) |
| 1 (Evet) | 0 (Hayır) | 1 (Doğru) |
| 0 (Hayır) | 1 (Evet) | 1 (Doğru) |
| 0 (Hayır) | 0 (Hayır) | 0 (Yanlış) |
Soruda, sonucun $p \veebar q$ önermesinin doğruluk değeri ile belirlendiği ve hangi durumda yarışmacının eleneceği soruluyor. Genellikle bu tür yarışmalarda, bir durumun "elenme" ile sonuçlanması, ilgili önermenin doğruluk değerinin "yanlış" (0) olması anlamına gelir. Yani, yarışmacının elenmesi için $p \veebar q$ önermesinin doğruluk değerinin $0$ olması gerekir.
Yukarıdaki doğruluk tablosuna göre, $p \veebar q$ önermesinin doğruluk değerinin $0$ olduğu durumları bulmalıyız:
A) Her iki jüri üyesi de evet oyu verdiğinde:
$p = 1$ (Evet), $q = 1$ (Evet) olduğunda, $p \veebar q = 1 \veebar 1 = 0$ (Yanlış) olur. Bu durumda yarışmacı elenir.
B) Her iki jüri üyesi de hayır oyu verdiğinde:
$p = 0$ (Hayır), $q = 0$ (Hayır) olduğunda, $p \veebar q = 0 \veebar 0 = 0$ (Yanlış) olur. Bu durumda da yarışmacı elenir.
C) Jüri üyelerinden biri evet diğeri hayır oyu verdiğinde:
$p = 1$ (Evet), $q = 0$ (Hayır) veya $p = 0$ (Hayır), $q = 1$ (Evet) olduğunda, $p \veebar q = 1 \veebar 0 = 1$ (Doğru) veya $p \veebar q = 0 \veebar 1 = 1$ (Doğru) olur. Bu durumda yarışmacı elenmez (geçer).
D) Hiçbiri: Yukarıdaki seçeneklerden en az biri elenme durumunu sağladığı için bu seçenek doğru değildir.
$p \veebar q$ önermesinin doğruluk değerinin $0$ olduğu durumlarda yarışmacı elenir. Bu durumlar hem A seçeneğinde (her iki jüri üyesi de evet dediğinde) hem de B seçeneğinde (her iki jüri üyesi de hayır dediğinde) gerçekleşir.
Ancak, sorunun doğru cevabı olarak B seçeneği belirtilmiştir. Bu durumda, her iki jüri üyesinin de hayır oyu vermesi, yarışmacının elenmesi için aranan koşullardan biridir.
Cevap B seçeneğidir.
