Bir araştırmacı, 5 farklı bölgedeki günlük ortalama sıcaklık değerlerini ölçmüş ve şu sonuçları elde etmiştir: 18°C, 22°C, 19°C, 25°C, 21°C. Bu veri setinin varyansı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4.8Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle birlikte bir veri setinin varyansını nasıl hesaplayacağımızı adım adım öğreneceğiz. Varyans, bir veri setindeki değerlerin ortalamadan ne kadar saptığını, yani ne kadar dağınık olduğunu gösteren önemli bir istatistiksel ölçüdür. Haydi başlayalım!
İlk olarak, verilen tüm sıcaklık değerlerini toplayıp, toplam değer sayısına bölerek veri setinin ortalamasını bulmalıyız. Bu, veri setimizin "merkezini" belirlememizi sağlar.
Verilen sıcaklık değerleri: $18^\circ C, 22^\circ C, 19^\circ C, 25^\circ C, 21^\circ C$
Toplam değer sayısı ($n$): $5$ adet
Ortalama ($\mu$) hesaplaması:
$\mu = \frac{18 + 22 + 19 + 25 + 21}{5}$
$\mu = \frac{105}{5}$
$\mu = 21^\circ C$
Demek ki, günlük ortalama sıcaklık $21^\circ C$'dir.
Şimdi, her bir sıcaklık değerinden bulduğumuz ortalamayı çıkaracağız. Bu bize her bir değerin ortalamadan ne kadar uzakta olduğunu gösterecek.
Önceki adımda bulduğumuz farkların her birinin karesini alıyoruz. Kare alma işlemi, negatif farkları pozitif yapar ve büyük farkların etkisini daha da artırır.
Şimdi, karelerini aldığımız tüm farkları topluyoruz. Bu toplam, veri setindeki genel sapmanın bir ölçüsüdür.
Karelerin toplamı ($\sum (x_i - \mu)^2$):
$9 + 1 + 4 + 16 + 0 = 30$
Son olarak, bulduğumuz kareler toplamını veri setindeki toplam değer sayısına ($n$) bölerek varyansı hesaplıyoruz. Bu durumda, araştırmacının ölçtüğü 5 bölge tüm veri setini temsil ettiği için popülasyon varyansı formülünü kullanırız.
Varyans ($\sigma^2$) formülü:
$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}$
$\sigma^2 = \frac{30}{5}$
$\sigma^2 = 6$
Bu veri setinin varyansı $6.0$'dır.
Cevap C seçeneğidir.
