Radyan nedir Test 2

Birim çember üzerinde \( \theta = \frac{7\pi}{6} \) radyanlık açıya karşılık gelen noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) \( \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} \right) \)
B) \( \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right) \)
C) \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} \right) \)
D) \( \left( -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulmak, trigonometrinin temel taşlarından biridir. Bu soruyu adım adım çözerek konuyu daha iyi anlayalım.

• 1. Birim Çember ve Koordinatlar:

  Birim çember, merkezi başlangıç noktasında $(0,0)$ olan ve yarıçapı $1$ birim olan bir çemberdir. Birim çember üzerinde bir $\theta$ açısına karşılık gelen noktanın koordinatları $(\cos \theta, \sin \theta)$ olarak tanımlanır. Yani, $x$-koordinatı $\cos \theta$ ve $y$-koordinatı $\sin \theta$ değerine eşittir.

• 2. Açıyı Anlamak:

  Bize verilen açı $ \theta = \frac{7\pi}{6} $ radyandır. Bu açının birim çember üzerinde nerede olduğunu daha iyi anlamak için dereceye çevirebiliriz. $ \pi $ radyan $180^\circ$'ye eşittir.

  $ \frac{7\pi}{6} = \frac{7 \times 180^\circ}{6} = 7 \times 30^\circ = 210^\circ $.

• 3. Açının Bulunduğu Bölge (Kadran):

  $210^\circ$ açısı, $180^\circ$ ile $270^\circ$ arasındadır. Bu da demektir ki, açımız üçüncü bölgede yer almaktadır.

  Üçüncü bölgede $x$-koordinatları (kosinüs değerleri) negatif, $y$-koordinatları (sinüs değerleri) negatiftir.

• 4. Referans (Esas) Açıyı Bulma:

  Trigonometrik değerleri bulmak için referans açıyı kullanırız. Referans açı, açının $x$-ekseni ile yaptığı dar açıdır.

  Üçüncü bölgedeki bir açı için referans açı, açının $180^\circ$'den çıkarılmasıyla bulunur:

  Referans Açı $= 210^\circ - 180^\circ = 30^\circ$.

  Radyan cinsinden ise: Referans Açı $= \frac{7\pi}{6} - \pi = \frac{7\pi - 6\pi}{6} = \frac{\pi}{6} $.

• 5. Referans Açının Trigonometrik Değerleri:

  Şimdi $30^\circ$ (veya $ \frac{\pi}{6} $) açısının sinüs ve kosinüs değerlerini hatırlayalım:

  • $ \cos(30^\circ) = \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
  • $ \sin(30^\circ) = \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} $
• 6. Bölgeye Göre İşaretleri Belirleme:

  Açımız üçüncü bölgede olduğu için hem kosinüs hem de sinüs değerleri negatif olacaktır:

  • $ \cos \left( \frac{7\pi}{6} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $
  • $ \sin \left( \frac{7\pi}{6} \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2} $
• 7. Koordinatları Yazma:

  Buna göre, $ \theta = \frac{7\pi}{6} $ radyanlık açıya karşılık gelen noktanın koordinatları $ (\cos \theta, \sin \theta) = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} \right) $ olur.

Bu koordinatlar seçenekler arasında A seçeneğinde bulunmaktadır.

Cevap A seçeneğidir.