Fonksiyon (Bağıntı olarak) Test 2

A = {1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlı β = {(1,1), (2,3), (3,2), (4,4)} bağıntısı için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

A) Fonksiyondur ve birebirdir
B) Fonksiyondur ama birebir değildir
C) Fonksiyon değildir
D) Fonksiyondur ve örtendir

Bu soruda, verilen bir küme üzerinde tanımlı bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını, birebir olup olmadığını ve örten olup olmadığını adım adım inceleyeceğiz.

• Adım 1: Verilen küme ve bağıntıyı inceleyelim.

  Verilen küme $A = \{1, 2, 3, 4\}$'tür.

  Verilen bağıntı $\beta = \{(1,1), (2,3), (3,2), (4,4)\}$'tür. Bu bağıntı $A$ kümesinden $A$ kümesine tanımlıdır, yani tanım kümesi de değer kümesi de $A$'dır.

• Adım 2: $\beta$ bağıntısının fonksiyon olup olmadığını kontrol edelim.

  Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için iki temel şart vardır:

  1. Tanım kümesindeki her eleman eşleşmelidir.

  2. Tanım kümesindeki her eleman sadece bir elemanla eşleşmelidir (yani, bir elemanın birden fazla görüntüsü olmamalıdır).

  Bağıntıdaki sıralı ikililere bakalım:

  - $1 \in A$ elemanı $1$ ile eşleşmiş.

  - $2 \in A$ elemanı $3$ ile eşleşmiş.

  - $3 \in A$ elemanı $2$ ile eşleşmiş.

  - $4 \in A$ elemanı $4$ ile eşleşmiş.

  Görüldüğü gibi, $A$ kümesindeki her eleman ($1, 2, 3, 4$) eşleşmiştir ve her elemanın sadece bir görüntüsü vardır. Bu nedenle, $\beta$ bir fonksiyondur.

• Adım 3: $\beta$ fonksiyonunun birebir (injective) olup olmadığını kontrol edelim.

  Bir fonksiyonun birebir olabilmesi için, tanım kümesindeki farklı elemanların görüntülerinin de farklı olması gerekir. Yani, $x_1 \neq x_2$ iken $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır.

  Fonksiyonumuzun görüntülerini inceleyelim:

  - $f(1) = 1$

  - $f(2) = 3$

  - $f(3) = 2$

  - $f(4) = 4$

  Görüntü kümesi $\{1, 3, 2, 4\}$'tür. Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklıdır. Bu durum tüm elemanlar için geçerlidir. Bu nedenle, $\beta$ fonksiyonu birebirdir.

• Adım 4: $\beta$ fonksiyonunun örten (surjective) olup olmadığını kontrol edelim.

  Bir fonksiyonun örten olabilmesi için, değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde en az bir karşılığı (ön görüntüsü) olması gerekir. Diğer bir deyişle, fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesine eşit olmalıdır.

  Değer kümemiz $A = \{1, 2, 3, 4\}$'tür.

  Fonksiyonun görüntü kümesi (yani eşleşen elemanların kümesi) $\{1, 3, 2, 4\}$'tür. Bu küme, değer kümesi $A$'ya eşittir.

  Bu nedenle, $\beta$ fonksiyonu örtendir.

  Ek Bilgi: Tanım kümesi ve değer kümesi aynı sayıda elemana sahip sonlu kümeler olduğunda (burada her ikisi de $4$ elemanlı $A$ kümesi), bir fonksiyon birebir ise aynı zamanda örtendir ve örten ise aynı zamanda birebirdir.

• Adım 5: Seçenekleri değerlendirelim.

  Yaptığımız incelemeler sonucunda $\beta$ bağıntısının bir fonksiyon olduğunu, birebir olduğunu ve örten olduğunu belirledik.

  A) Fonksiyondur ve birebirdir: Bu ifade doğrudur.

  B) Fonksiyondur ama birebir değildir: Bu ifade yanlıştır, çünkü fonksiyon birebirdir.

  C) Fonksiyon değildir: Bu ifade yanlıştır, çünkü bağıntı bir fonksiyondur.

  D) Fonksiyondur ve örtendir: Bu ifade de doğrudur.

  Hem A hem de D seçeneği doğru bilgileri içermektedir. Ancak, çoktan seçmeli sorularda genellikle en uygun veya sorunun odaklandığı tek bir doğru cevap beklenir. Bu durumda, A seçeneği de bağıntının özelliklerini doğru bir şekilde ifade etmektedir.

Cevap A seçeneğidir.