Fonksiyon (Bağıntı olarak) Test 2

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x) = x² bağıntısı düşünüldüğünde, aşağıdakilerden hangisi bu bağıntının fonksiyon olma özelliğini ifade eder?

A) Her x gerçek sayısı için birden fazla y değeri vardır
B) Bazı x değerleri için y değeri yoktur
C) Her x gerçek sayısı için tam olarak bir y değeri vardır
D) y değerleri her zaman pozitiftir

Fonksiyon kavramı matematikte çok temel ve önemli bir konudur. Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için belirli kuralları sağlaması gerekir. Şimdi sorumuzdaki $f(x) = x^2$ bağıntısı üzerinden bu kuralları adım adım inceleyelim.

• Fonksiyon Tanımı: Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için, tanım kümesindeki (burada gerçek sayılar kümesi) her elemanın, değer kümesinde (yine gerçek sayılar kümesi) tam olarak bir elemanla eşleşmesi gerekir. Yani, tanım kümesindeki hiçbir eleman boşta kalmamalı ve hiçbir eleman birden fazla elemanla eşleşmemelidir.
• $f(x) = x^2$ Bağıntısının İncelenmesi:

  Bu bağıntıda, tanım kümesinden herhangi bir $x$ gerçek sayısı aldığımızda, bu $x$ sayısının karesi olan $x^2$ değeri her zaman tek ve belirli bir gerçek sayıdır.

  Örneğin:

  • $x=3$ için $f(3) = 3^2 = 9$. Sadece bir tane $9$ değeri vardır.

  • $x=-2$ için $f(-2) = (-2)^2 = 4$. Sadece bir tane $4$ değeri vardır.

  • $x=0$ için $f(0) = 0^2 = 0$. Sadece bir tane $0$ değeri vardır.

  Gördüğünüz gibi, tanım kümesindeki her $x$ değeri için, karşılık gelen $y$ değeri ($x^2$) her zaman tektir.

• Seçeneklerin Değerlendirilmesi:

  Şimdi seçenekleri fonksiyon tanımı ışığında değerlendirelim:

  A) Her x gerçek sayısı için birden fazla y değeri vardır: Bu ifade, fonksiyon tanımına tamamen zıttır. Eğer bir $x$ değeri birden fazla $y$ değeriyle eşleşirse, bu bir fonksiyon olamaz. $f(x) = x^2$ bağıntısında her $x$ için tek bir $y$ değeri vardır. Bu yüzden A seçeneği yanlıştır.

  B) Bazı x değerleri için y değeri yoktur: Bu ifade de fonksiyon tanımına aykırıdır. Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için tanım kümesindeki her elemanın bir karşılığı olmalıdır. $f(x) = x^2$ bağıntısında, her gerçek sayının bir karesi vardır. Bu yüzden B seçeneği yanlıştır.

  C) Her x gerçek sayısı için tam olarak bir y değeri vardır: Bu ifade, fonksiyonun temel tanımını tam olarak karşılamaktadır. $f(x) = x^2$ bağıntısı için, tanım kümesindeki her $x$ gerçek sayısı için, $x^2$ değeri olarak tam olarak bir tane $y$ değeri bulunur. Bu, $f(x) = x^2$ bağıntısının bir fonksiyon olduğunu ifade eden özelliktir. Bu yüzden C seçeneği doğrudur.

  D) y değerleri her zaman pozitiftir: $f(x) = x^2$ bağıntısında $y$ değerleri ($x^2$) gerçekten de hiçbir zaman negatif olmaz (yani $y \ge 0$). Ancak $x=0$ için $y=0$ olduğu için "her zaman pozitiftir" ifadesi tam doğru değildir, "her zaman negatif değildir" veya "her zaman non-negatiftir" daha doğru olurdu. Daha da önemlisi, bu ifade fonksiyonun tanımını değil, fonksiyonun görüntü kümesinin (range) bir özelliğini belirtir. Bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını belirleyen temel kural bu değildir. Bu yüzden D seçeneği yanlıştır.

Bu adımları takip ettiğimizde, bir bağıntının fonksiyon olma özelliğini en doğru şekilde açıklayan seçeneğin C olduğunu görüyoruz.

Cevap C seçeneğidir.