Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, hilesiz iki zarın atılmasıyla ortaya çıkan durumları ve bu durumlar arasından belirli bir koşulu sağlayanları bulup olasılık hesaplaması yapacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Tüm Olası Durumları Belirleyelim (Örnek Uzay):
- Hilesiz bir zar atıldığında 6 farklı sonuç gelebilir (1, 2, 3, 4, 5, 6).
- İki zar aynı anda atıldığında, birinci zar için 6, ikinci zar için 6 olmak üzere toplam $6 \times 6 = 36$ farklı olası durum vardır. Bu durumlar, (1,1), (1,2), ..., (6,6) şeklinde gösterilebilir.
- Yani, örnek uzayımızın eleman sayısı $S = 36$'dır.
- 2. İstenen Durumu Anlayalım:
- Soru bizden, üst yüze gelen sayıların toplamının asal sayı olma olasılığını istiyor.
- İki zarın toplamı en az $1+1=2$, en fazla $6+6=12$ olabilir.
- Bu aralıktaki asal sayıları listeleyelim: 2, 3, 5, 7, 11. (Asal sayılar, 1'den büyük olup sadece 1'e ve kendisine bölünebilen sayılardır.)
- 3. İstenen Durumları Tek Tek Bulalım:
- Şimdi, toplamları bu asal sayılara eşit olan zar çiftlerini bulalım:
- Toplamı 2 olan durumlar:
- (1, 1) - 1 durum
- Toplamı 3 olan durumlar:
- (1, 2), (2, 1) - 2 durum
- Toplamı 5 olan durumlar:
- (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) - 4 durum
- Toplamı 7 olan durumlar:
- (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) - 6 durum
- Toplamı 11 olan durumlar:
- (5, 6), (6, 5) - 2 durum
- 4. İstenen Durumların Toplam Sayısını Bulalım:
- Yukarıda bulduğumuz durumları toplayalım: $1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
- Yani, üst yüze gelen sayıların toplamının asal sayı olduğu 15 farklı durum vardır.
- 5. Olasılığı Hesaplayalım:
- Olasılık, istenen durumların sayısının tüm olası durumların sayısına oranıdır.
- Olasılık $P(\text{asal toplam}) = \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durum Sayısı}}$
- $P(\text{asal toplam}) = \frac{15}{36}$
- 6. Kesri Sadeleştirelim:
- $\frac{15}{36}$ kesrini sadeleştirmek için hem payı hem de paydayı 3'e bölebiliriz.
- $15 \div 3 = 5$
- $36 \div 3 = 12$
- Böylece olasılık $\frac{5}{12}$ olarak bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
