İki zar atıldığında üst yüzlerdeki sayıların toplamının 6'dan büyük olma olasılığı nedir?
A) \( \frac{5}{12} \)Sevgili öğrenciler, bu soruda iki zar atıldığında üst yüzlerdeki sayıların toplamının 6'dan büyük olma olasılığını bulacağız. Olasılık problemlerini çözerken her zaman iki temel adımı takip ederiz: Tüm olası durumları belirlemek ve istediğimiz durumları (favorable outcomes) belirlemek. Haydi başlayalım!
İki zar atıldığında, her bir zar 1'den 6'ya kadar sayılar gösterebilir. Bu durumda, birinci zar için 6 farklı sonuç, ikinci zar için de 6 farklı sonuç vardır. Toplam olası durum sayısı bu iki sayının çarpımı kadardır.
Toplam olası durum sayısı = $6 \times 6 = 36$
Bu 36 durumu bir çift olarak düşünebiliriz, örneğin (1,1), (1,2), ..., (6,6).
Bizden istenen, zarların üst yüzlerindeki sayıların toplamının 6'dan büyük olmasıdır. Yani toplam 7, 8, 9, 10, 11 veya 12 olabilir. Bu durumları tek tek listeleyelim:
- Toplamı 7 olan durumlar: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) – Toplam 6 durum
- Toplamı 8 olan durumlar: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) – Toplam 5 durum
- Toplamı 9 olan durumlar: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) – Toplam 4 durum
- Toplamı 10 olan durumlar: (4,6), (5,5), (6,4) – Toplam 3 durum
- Toplamı 11 olan durumlar: (5,6), (6,5) – Toplam 2 durum
- Toplamı 12 olan durumlar: (6,6) – Toplam 1 durum
İstediğimiz tüm durumların toplam sayısı: $6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$ durumdur.
Alternatif Yöntem: Tümleyen Olayı Kullanma
Bazen istenen durumları saymak yerine, istenmeyen durumları sayıp tüm durumlardan çıkarmak daha kolay olabilir. "Toplamın 6'dan büyük olması" olayının tümleyeni "toplamın 6 veya 6'dan küçük olması"dır. Bu durumları listeleyelim:
- Toplamı 2 olan durumlar: (1,1) – 1 durum
- Toplamı 3 olan durumlar: (1,2), (2,1) – 2 durum
- Toplamı 4 olan durumlar: (1,3), (2,2), (3,1) – 3 durum
- Toplamı 5 olan durumlar: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) – 4 durum
- Toplamı 6 olan durumlar: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) – 5 durum
Toplamı 6 veya daha az olan durumların sayısı: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ durumdur.
Bu durumda, toplamı 6'dan büyük olan durumların sayısı: $36 - 15 = 21$ durumdur. Gördüğünüz gibi, her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık!
Bir olayın olasılığı, istenen durumların sayısının tüm olası durumların sayısına oranıdır. Formülümüz şöyledir:
Olasılık = $\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durum Sayısı}}$
Olasılık = $\frac{21}{36}$
Bu kesri sadeleştirelim. Hem 21 hem de 36, 3 ile bölünebilir.
Olasılık = $\frac{21 \div 3}{36 \div 3} = \frac{7}{12}$
Böylece, iki zar atıldığında üst yüzlerdeki sayıların toplamının 6'dan büyük olma olasılığı $ \frac{7}{12} $ olarak bulunur.
Cevap B seçeneğidir.
