İki küp toplamı (a³+b³) Test 2

\(p\) ve \(r\) gerçel sayılar olmak üzere, \(p^3 + r^3 = 28\) ve \(p + r = 4\) veriliyor. Buna göre \(p \cdot r\) değeri kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, verilen iki denklemi kullanarak $p \cdot r$ çarpımının değerini bulacağız. Bu tür soruları çözerken cebirsel özdeşliklerden faydalanmak bize çok yardımcı olur. Haydi adım adım ilerleyelim:

• Verilen Bilgileri Anlayalım:

  Bize iki önemli bilgi verilmiş:

  • $p^3 + r^3 = 28$
  • $p + r = 4$

  Bizden istenen ise $p \cdot r$ değerini bulmak.

• Cebirsel Özdeşliği Hatırlayalım:

  Küp toplamı için çok önemli bir cebirsel özdeşliğimiz var: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

  Bu özdeşliği $p$ ve $r$ değişkenleri için uygulayalım:

  $p^3 + r^3 = (p+r)(p^2 - pr + r^2)$

• Bilgileri Özdeşlikte Yerine Koyalım:

  Şimdi elimizdeki $p^3 + r^3 = 28$ ve $p + r = 4$ değerlerini bu özdeşlikte yerine yazalım:

  $28 = (4)(p^2 - pr + r^2)$

• Denklemi Sadeleştirelim:

  Eşitliğin her iki tarafını $4$'e bölelim:

  $\frac{28}{4} = p^2 - pr + r^2$

  $7 = p^2 - pr + r^2$

• Başka Bir Özdeşlik Kullanalım:

  Şimdi $p^2 + r^2$ ifadesini $p+r$ ve $pr$ cinsinden yazmak için bir başka özdeşliği hatırlayalım: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

  Buradan $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ olduğunu biliyoruz.

  Bu özdeşliği $p$ ve $r$ için uygulayalım:

  $p^2 + r^2 = (p+r)^2 - 2pr$

• Denklemde Yerine Koyma ve Çözüm:

  Bulduğumuz $p^2 + r^2 = (p+r)^2 - 2pr$ ifadesini, $7 = p^2 - pr + r^2$ denklemindeki $p^2 + r^2$ yerine yazalım:

  $7 = ((p+r)^2 - 2pr) - pr$

  $7 = (p+r)^2 - 3pr$

  Şimdi $p+r = 4$ değerini yerine yazalım:

  $7 = (4)^2 - 3pr$

  $7 = 16 - 3pr$

  $3pr$ terimini sol tarafa, $7$ sayısını sağ tarafa atalım:

  $3pr = 16 - 7$

  $3pr = 9$

  Her iki tarafı $3$'e bölelim:

  $pr = \frac{9}{3}$

  $pr = 3$

Böylece $p \cdot r$ değerini $3$ olarak bulmuş olduk.

Cevap C seçeneğidir.