9. Sınıf iki terimin toplamının karesi özdeşliği nedir? Test 2

Bir dikdörtgenin alanı \(x^2+8x+16\) cm²'dir. Bu dikdörtgen kare olduğuna göre, bir kenar uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir?

A) x+2
B) x+4
C) x+6
D) x+8

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir dikdörtgenin alanının cebirsel bir ifadeyle verildiğini ve bu dikdörtgenin aslında bir kare olduğunu öğreniyoruz. Bizden bu karenin bir kenar uzunluğunu bulmamız isteniyor. Haydi adım adım bu problemi çözelim!

• Adım 1: Soruyu Anlayalım ve Temel Bilgileri Hatırlayalım.

  Bize verilen bilgiye göre, bir dikdörtgenin alanı $x^2+8x+16$ cm²'dir. Ayrıca, bu dikdörtgenin aslında bir kare olduğu belirtilmiştir. Bir karenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpılmasıyla (karesi alınmasıyla) bulunur. Yani, eğer bir kenar uzunluğu $a$ ise, alan $A = a^2$ olur.

• Adım 2: Verilen Alan İfadesini İnceleyelim.

  Karenin alanı $x^2+8x+16$ olarak verilmiş. Bizim amacımız, bu ifadeyi bir sayının veya cebirsel ifadenin karesi şeklinde yazmaktır. Bu tür ifadeler genellikle "tam kare" özdeşliklerini akla getirir.

• Adım 3: Tam Kare Özdeşliğini Hatırlayalım.

  İki terimli bir ifadenin karesi olan $(a+b)^2$ özdeşliği şöyledir:

  $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

  Şimdi verilen $x^2+8x+16$ ifadesini bu özdeşlikle karşılaştıralım:

  • İlk terim $x^2$, yani $a^2 = x^2$ ise $a=x$ olmalıdır.
  • Son terim $16$, yani $b^2 = 16$ ise $b=4$ olmalıdır (çünkü $4^2=16$).
  • Ortadaki terim $8x$. Özdeşliğe göre ortadaki terim $2ab$ olmalıydı. $2 \cdot x \cdot 4 = 8x$. Gördüğümüz gibi, bu ifade de tam olarak eşleşiyor!
• Adım 4: Alan İfadesini Tam Kare Şeklinde Yazalım.

  Yukarıdaki incelemeler sonucunda, $x^2+8x+16$ ifadesinin aslında $(x+4)^2$ şeklinde yazılabileceğini bulduk.

  Yani, Karenin Alanı $= (x+4)^2$ cm².

• Adım 5: Karenin Bir Kenar Uzunluğunu Bulalım.

  Eğer bir karenin alanı $(x+4)^2$ ise, bu karenin bir kenar uzunluğu $(x+4)$ olmalıdır. Çünkü Alan $= (\text{kenar uzunluğu})^2$ eşitliğini sağlıyor.

Buna göre, karenin bir kenar uzunluğu $x+4$ cm'dir.

Seçeneklere baktığımızda, bu ifade B seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap B seçeneğidir.