Bu soruda, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki sağdan ve soldan limitleri verilmiş ve bizden o noktadaki genel limit hakkında yorum yapmamız isteniyor. Limit kavramının temel kurallarından birini hatırlayarak bu soruyu kolayca çözebiliriz.
- Limitin Tanımı ve Şartı: Bir $h(x)$ fonksiyonunun $x \to a$ noktasındaki limitinin var olabilmesi için, hem sağdan limitinin hem de soldan limitinin var olması ve bu iki limit değerinin birbirine eşit olması gerekir. Yani, $ \lim_{x \to a} h(x) = L $ olabilmesi için $ \lim_{x \to a^-} h(x) = L $ ve $ \lim_{x \to a^+} h(x) = L $ şartları aynı anda sağlanmalıdır. Eğer bu iki limit değeri farklıysa, o noktada genel limit yoktur.
- Verilen Bilgiler: Soruda bize $x=0$ noktası için iki bilgi verilmiştir:
Birincisi, $ \lim_{x \to 0^+} h(x) = 2 $. Bu ifade, $x$ değerleri 0'a sağdan, yani 0'dan büyük değerlerle yaklaşırken $h(x)$ fonksiyonunun 2'ye yaklaştığını gösterir.
İkincisi, $ \lim_{x \to 0^-} h(x) = -1 $. Bu ifade ise $x$ değerleri 0'a soldan, yani 0'dan küçük değerlerle yaklaşırken $h(x)$ fonksiyonunun -1'e yaklaştığını gösterir.
- Sağdan ve Soldan Limitleri Karşılaştırma: Şimdi, genel limitin var olma şartını kontrol edelim. Sağdan limit değeri $2$ iken, soldan limit değeri $-1$'dir. Bu durumda $ \lim_{x \to 0^+} h(x) \neq \lim_{x \to 0^-} h(x) $'dir, çünkü $2 \neq -1$.
- Sonuç: Sağdan ve soldan limitler birbirine eşit olmadığı için, $x=0$ noktasında $h(x)$ fonksiyonunun genel limiti yoktur. Fonksiyonun grafiğini hayal ettiğimizde, $x=0$ noktasında fonksiyonun farklı değerlere yaklaştığını, yani bir "sıçrama" veya "kopukluk" olduğunu görürüz.
Cevap D seçeneğidir.
