Bir sayının 4'e bölündüğünde 3 kalanını, 6'ya bölündüğünde 5 kalanını verdiği biliniyor. Sayı 50'den küçük olduğuna göre, bu sayıyı bulmak için en iyi strateji nedir?
A) 11'i deneyip sonuç alınamazsa 23'ü denemek
B) 4 ve 6'nın EKOK'unu (12) kullanarak uygun sayıları bulmak
C) Sadece tek sayıları denemek
D) 49'dan başlayarak geriye doğru saymak
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür sorular, matematiksel düşünme becerilerinizi ve problem çözme stratejilerinizi geliştirmeniz için harika fırsatlardır. Şimdi, bu sayıyı bulmak için en iyi stratejiyi adım adım inceleyelim.
- Problemi Anlayalım:
- Bizden istenen, iki farklı bölme işleminde belirli kalanları veren ve 50'den küçük olan bir sayıyı bulmaktır.
- Problemin ilk koşulu: Sayı 4'e bölündüğünde 3 kalanını veriyor.
- Problemin ikinci koşulu: Sayı 6'ya bölündüğünde 5 kalanını veriyor.
- Ayrıca, sayının 50'den küçük olması gerekiyor.
- Kalanları İnceleyelim:
- Bir sayı 4'e bölündüğünde 3 kalanını veriyorsa, o sayı $4k + 3$ formundadır. Eğer bu sayıya 1 eklersek, $4k + 3 + 1 = 4k + 4 = 4(k+1)$ olur ki bu da 4'e tam bölünür. Yani, aradığımız sayıya 1 eklediğimizde elde ettiğimiz sayı ($N+1$), 4'ün katıdır.
- Benzer şekilde, bir sayı 6'ya bölündüğünde 5 kalanını veriyorsa, o sayı $6m + 5$ formundadır. Eğer bu sayıya 1 eklersek, $6m + 5 + 1 = 6m + 6 = 6(m+1)$ olur ki bu da 6'ya tam bölünür. Yani, aradığımız sayıya 1 eklediğimizde elde ettiğimiz sayı ($N+1$), 6'nın katıdır.
- Anahtar Fikri Bulalım:
- Yukarıdaki iki maddeden yola çıkarak, aradığımız sayıya 1 eklediğimizde elde ettiğimiz sayı ($N+1$), hem 4'ün hem de 6'nın ortak bir katı olmalıdır.
- EKOK (En Küçük Ortak Kat) Kullanımı:
- Hem 4'e hem de 6'ya bölünebilen en küçük sayı, bu iki sayının En Küçük Ortak Katı (EKOK) olacaktır.
- EKOK(4, 6) değerini bulalım: 4'ün katları (4, 8, 12, 16, 20, 24, ...), 6'nın katları (6, 12, 18, 24, ...).
- Gördüğümüz gibi, EKOK(4, 6) = 12'dir.
- Bu durumda, $N+1$ sayısı 12'nin bir katı olmalıdır. Yani, $N+1 = 12 \times P$ (burada $P$ bir tam sayıdır).
- Sayımızı Bulalım:
- Şimdi $N+1 = 12 \times P$ eşitliğinden $N = 12 \times P - 1$ formülünü elde ederiz. Sayımızın 50'den küçük olması gerektiğini de unutmayalım.
- Eğer $P=1$ ise, $N = 12 \times 1 - 1 = 11$.
- Eğer $P=2$ ise, $N = 12 \times 2 - 1 = 23$.
- Eğer $P=3$ ise, $N = 12 \times 3 - 1 = 35$.
- Eğer $P=4$ ise, $N = 12 \times 4 - 1 = 47$.
- Eğer $P=5$ ise, $N = 12 \times 5 - 1 = 59$. (Bu sayı 50'den büyük olduğu için bu değeri almayız.)
- Bu durumda, koşulları sağlayan sayılar 11, 23, 35 ve 47'dir.
- Seçenekleri Değerlendirelim:
- A) 11'i deneyip sonuç alınamazsa 23'ü denemek: Bu, deneme yanılma yöntemidir. Eğer ilk denediğimiz sayı doğruysa hızlıca buluruz ama bu sayılara nasıl ulaşacağımızı açıklamaz ve tüm olası sayıları bulmak için sistematik bir yol sunmaz.
- B) 4 ve 6'nın EKOK'unu (12) kullanarak uygun sayıları bulmak: Bu strateji, yukarıda uyguladığımız yöntemle birebir örtüşmektedir. Matematiksel olarak en doğru, en sistematik ve en verimli yaklaşımdır. Bu yöntemle, koşulları sağlayan tüm sayıları kolayca bulabiliriz.
- C) Sadece tek sayıları denemek: Sayımız kesinlikle tek bir sayıdır (çünkü $4k+3$ ve $6m+5$ formları her zaman tek sayı verir). Ancak 1'den 49'a kadar tüm tek sayıları denemek yine de çok fazla deneme yanılma gerektirir ve verimli değildir.
- D) 49'dan başlayarak geriye doğru saymak: Bu da bir deneme yanılma yöntemidir. En büyük sayıyı bulmak için işe yarayabilir ama yine de sistematik değildir ve tüm olası sayıları bulmak için en iyi strateji değildir.
Yukarıdaki analizler sonucunda, matematiksel olarak en sağlam, en sistematik ve en verimli stratejinin 4 ve 6'nın EKOK'unu kullanarak uygun sayıları bulmak olduğu açıkça görülmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
