Bir sayının irrasyonel olabilmesi için aşağıdaki özelliklerden hangisini sağlaması gerekir?
A) İki tam sayının oranı şeklinde yazılabilmek
B) Ondalık kısmının sonlu olması
C) İki tam sayının oranı şeklinde yazılamaması
D) Devirli ondalık gösterime sahip olması
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir sayının irrasyonel olmasının ne anlama geldiğini anlamamız isteniyor. Sayı kümelerini hatırlayarak bu soruyu adım adım çözelim:
- Rasyonel Sayılar Nedir?
Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı şeklinde, yani $\frac{p}{q}$ biçiminde yazılabilen sayılardır. Burada $p$ bir tam sayı, $q$ sıfırdan farklı bir tam sayıdır. Rasyonel sayıların ondalık gösterimi ya sonludur (örneğin, $0.5 = \frac{1}{2}$) ya da devirlidir (örneğin, $0.333... = \frac{1}{3}$).
- İrrasyonel Sayılar Nedir?
İrrasyonel sayılar ise rasyonel olmayan sayılardır. Yani, iki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayılardır. Bu sayıların ondalık gösterimi sonsuzdur ve devirsizdir (yani belirli bir tekrar eden örüntüye sahip değildir). Ünlü irrasyonel sayılara örnek olarak $\pi$ (pi sayısı) veya $\sqrt{2}$ (karekök iki) verilebilir.
- Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) İki tam sayının oranı şeklinde yazılabilmek: Bu, rasyonel sayıların tanımıdır. Bir sayı bu şekilde yazılabiliyorsa irrasyonel değil, rasyoneldir. Dolayısıyla bu seçenek yanlıştır.
- B) Ondalık kısmının sonlu olması: Ondalık kısmı sonlu olan sayılar (örneğin $0.25$, $3.14$) her zaman bir kesir olarak yazılabilir ($0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$). Bu tür sayılar rasyoneldir. Dolayısıyla bu seçenek yanlıştır.
- C) İki tam sayının oranı şeklinde yazılamaması: İşte bu, irrasyonel sayıların tam tanımıdır! Bir sayı $\frac{p}{q}$ şeklinde yazılamıyorsa, o sayı irrasyoneldir. Örneğin, $\sqrt{3}$ veya $\pi$ sayılarını bu şekilde yazamayız. Bu nedenle ondalık gösterimleri de sonsuz ve devirsizdir. Bu seçenek doğrudur.
- D) Devirli ondalık gösterime sahip olması: Devirli ondalık gösterime sahip sayılar (örneğin $0.666... = \frac{2}{3}$ veya $1.232323... = \frac{122}{99}$) her zaman bir kesir olarak yazılabilir. Bu tür sayılar rasyoneldir. Dolayısıyla bu seçenek yanlıştır.
Yukarıdaki açıklamalardan da anlaşıldığı gibi, bir sayının irrasyonel olabilmesi için iki tam sayının oranı şeklinde yazılamaması gerekir.
Cevap C seçeneğidir.
