y = sin(u) ve u = x³ - 2x olduğuna göre, dy/dx aşağıdakilerden hangisidir?
A) cos(x³ - 2x)
B) (3x² - 2)·cos(x³ - 2x)
C) cos(3x² - 2)
D) sin(3x² - 2)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, zincir kuralını (chain rule) kullanarak bileşik bir fonksiyonun türevini bulmamız isteniyor. Zincir kuralı, bir fonksiyonun başka bir fonksiyona bağlı olduğu durumlarda türev almamızı sağlayan önemli bir kuraldır.
Verilen fonksiyonlar:
- $y = \sin(u)$
- $u = x^3 - 2x$
Bizden $dy/dx$ ifadesini bulmamız isteniyor.
Zincir kuralı formülü şöyledir:
- $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
Şimdi adım adım bu türevleri hesaplayalım:
- Adım 1: $y$ fonksiyonunun $u$'ya göre türevini ($dy/du$) bulalım.
- $y = \sin(u)$ fonksiyonunun $u$'ya göre türevi $\cos(u)$'dur.
- Yani, $\frac{dy}{du} = \cos(u)$
- Adım 2: $u$ fonksiyonunun $x$'e göre türevini ($du/dx$) bulalım.
- $u = x^3 - 2x$ fonksiyonunun $x$'e göre türevi, her terimin ayrı ayrı türevini alarak bulunur.
- $x^3$'ün türevi $3x^2$'dir.
- $-2x$'in türevi $-2$'dir.
- Yani, $\frac{du}{dx} = 3x^2 - 2$
- Adım 3: Bulduğumuz türevleri zincir kuralı formülünde yerine koyalım.
- $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
- $\frac{dy}{dx} = \cos(u) \cdot (3x^2 - 2)$
- Adım 4: $u$ yerine başlangıçtaki $x$'li ifadesini yazalım.
- $u = x^3 - 2x$ olduğunu biliyoruz. Bu ifadeyi $\cos(u)$ yerine yazalım.
- $\frac{dy}{dx} = \cos(x^3 - 2x) \cdot (3x^2 - 2)$
Bu ifadeyi daha düzenli bir şekilde yazarsak:
- $\frac{dy}{dx} = (3x^2 - 2) \cdot \cos(x^3 - 2x)$
Bu sonuç, seçeneklere baktığımızda B seçeneği ile aynıdır.
Cevap B seçeneğidir.
